Поля Янга — Миллса

Мы обозначаем заглавными греческими буквами индексы, относящиеся к слою. В частности, заряженное поле Янга — Миллса (ЯМ-заряженное) содержит такой индекс. Теперь символ при действии на такие поля имеет смысл связности в расслоении, удовлетворяющей условиям

где через в случае действительного векторного расслоения и через в случае комплексного векторного расслоения обозначен модуль сечений расслоения (снабженный абстрактным индексом Ф). Кривизна в расслоении [в отсутствие кручения; ср. с формулой (4.2.31)] определяется как

В случае полей Янга — Миллса (ЯМ) мы часто принимаем, что расслоение снабжено унитарной (эрмитовой) структурой

(т. е. комплексное сопряжение переставляет верхние и нижние заглавные греческие индексы). Вместо Каьаф мы используем величину которая в этом случае эрмитова и удовлетворяет уравнению

Ее компоненты, принадлежащие слою, выражаются через потенциалы (матрица ковекторов) по формуле

(причем пространственно-временные индексы перестановочны с индексами ЯМ-компонент). Действие калибровочных преобразований записывается в виде

при этом абстрактная кривизна (поле ЯМ) не изменяется. Матрицы взаимно обратны (а также эрмитовосопряжены в унитарном случае).

В спинорной записи имеет место разложение

в котором

(в унитарном случае эти величины комплексно-сопряжены друг с другом). Имеем I спинорные «тождества Риччи»

и выражения через потенциалы

Полевые уравнения ЯМ (без источников)

совместно с тождеством

в спинорных обозначениях записываются в виде

Самодуальная и антисамодуальная части поля ЯМ имеют вид

Поле ЯМ называется самодуальным (антисамодуальным), если его антисамодуальная (самодуальная) часть равна нулю. В этом случае уравнение (5.5.35) следует из (5.5.34).