Структура группы БМС

Выше мы проанализировали геометрический смысл сильной конформной геометрии на а тем самым и группы БМС, являющейся группой движений гиперповерхности сохраняющей эту геометрическую структуру. Однако в отличие от преобразований Пуанкаре преобразования БМС не сохраняют в

каком-либо очевидном смысле «физику». (Эта трудность в наиболее очевидной форме проявляется в плоском пространстве-времени.) Все дело, конечно, в том, что группа все еще слишком «велика», являясь функционально-пространственной группой (бесконечномерной), а значит, даже не группой Ли. Естественно спросить себя, не существует ли некое дополнительное геометрическое ограничение, которое, не устраняя полностью эту функциональную свободу, позволило бы в конечном итоге получить подгруппу, изоморфную ограниченной группе Пуанкаре.

«Размер» группы зависит от функции Я в выражении (9.8.10) [см. также (9.8.11)]. В случае пространства Минковского М ограниченные движения Пуанкаре индуцируют преобразования гиперповерхности которые можно записать в виде преобразований (9.8.9), ограниченных условиями (9.8.10) и (9.8.11) с функцией Я вида

причем «матрица» постоянна и эрмитова. Чтобы получить это выражение, переменную и нужно считать разновидностью координаты времени Бонди, такой, что значением определяется пересечение некоторого светового конуса с гиперповерхностью Возьмем вершину этого конуса за начало отсчета О и выберем единичный времениподобный вектор будущего Т в точке О, обладающий тем свойством, что ассоциированный с ним выбор масштаба (анти-) небесной сферы, делающий ее единичной сферой, согласуется с выбором масштаба, который определяется координатой времени Бонди и [см. текст после формулы (9.8.31)]. Тогда выяснится, что и — это просто стандартный параметр запаздывающего времени инерциального наблюдателя с началом отсчета в точке О и осью времени Та (рис. 9.24). Иначе говоря, заданное значение и времени Бонди на достигается там, где световой конус будущего с вершиной в точке с радиус-вектором в пространстве М пересекается с гиперповерхностью Снабдив М стандартными координатами Минковского, легко убедиться, что частная форма преобразований БМС (9.8.9) [с (9.8.10)], при которой функция имеет вид (9.8.51), дается активными (ограниченными) движениями Пуанкаре (записанными с помощью радиус-вектора, исходящего из считающейся фиксированной точки О):

Рис. 9.24. Чтобы получить стандартную координату времени Бонди в пространстве М, нужно взять времениподобную прямую в М и принять за и собственное время наблюдателя, история которого описывается данной мировой линией. При этом значения и остаются постоянными вдоль световых конусов будущего, исходящих из точек этой линии.

где — спиноры, стандартными компонентами которых [формула (3.3.31)] являются величины из (9.8.51) и

из формулы (9.8.9) (1), соответственно. Выражение (9.8.51) можно представить в следующей более «инвариантной» форме:

где величина

есть вектор, которым в точке О (или в любой другой точке пространства М) определяется изотропное направление образующей (с параметром гиперповерхности

Укажем, что, когда преобразование (9.8.9) (1) является тождественным [т. е., когда матрица (9.8.53) является единичной], преобразования (9.8.52) представляют собой простые трансляции пространства М. В связи с этим всякий раз, когда преобразования (9.8.9) (1) являются тождественными [так что в формуле (9.8.11) мы имеем а имеет вид (9.8.51), соответствующие преобразования БМС даже в случае искривленного пространства называют трансляциями и говорят, что они образуют 4-параметрическую подгруппу трансляций группы Более общий вид преобразований, когда преобразования (9.8.9) (1) по-прежнему остаются тождественными (а значит,

но функция Н является гладкой функцией общего вида на сфере, называют супертрансляциями — они образуют бесконечнопараметрическую подгруппу группы 38. Таким образом,

Подчеркнем, что в определении трансляции (и супертрансляции) фактически не существен выбор координаты времени Бонди и и нет зависимости от нее. То, что форма функции (9.8.51) сохраняется, когда подвергается преобразованию (9.8.9) (1), а и соответственно изменяется как произведение [с из формулы (9.8.11)], следует из того, что преобразования (9.8.52) образуют группу. (Это легко проверить и непосредственно.) Более того, трансляция оказывает на «супертранслированную» координату времени Бонди точно такое же влияние, как и на исходную координату и. На этом основании можно сделать вывод, что данное определение трансляции, как уже говорилось, БМС-инвариантно. (Супертрансляциями мы сейчас займемся.)

Сказанное выше можно сформулировать и иначе. Пусть 91 — группа лоренцевых вращений [т. е. преобразований (9.8.9), ограниченных условиями (9.8.11) и в формуле (9.8.10)]. Тогда

Кроме того,

(Поскольку все супертрансляции коммутируют, подгруппа во втором случае сохраняется поэлементно.) Из формы преобразований (9.8.9) следует, что каждый элемент группы имеет вид , т. е. что

Комбинируя это соотношение с (9.8.57) и (9.8.58), получаем

т. е. — это нормальный делитель группы 38. Аналогично можно показать, что тоже нормальный делитель группы

Таким образом, данное выше определение супертрансляции также БМС-инвариантно. Кроме того, получен следующий результат [299], который мы приводим без доказательства.

Теорема

Подгруппа трансляций группы БМС является ее единственным 4-параметрическим нормальным делителем.

Инвариантность определения трансляции — это по существу пример феномена, уже отмечавшегося в гл. 4, § 15. В общем случае супертрансляции определяются произвольной (гладкой) функцией Я на 2-сфере, а из выражения (9.8.51) и из формул, приведенных в конце гл. 4, § 15, вытекает следующее предложение.

Предложение

Трансляции — это супертрансляции, для которых функция построена только из сферических гармоник с и

(Спин-вес здесь равен нулю.) Из таблицы (4.15.60) видно, что такое условие для можно записать в виде

Мы рассматриваем - 2-сферу как пространство образующих гиперповерхности (т. е. как фактор-пространство гиперповерхности при ее образующих). Под действием группы (или, разумеется, группы 38) функции ведут себя как конформно-взвешенные скаляры с весом Это связано с тем, что дифференциал параметра и имеет [согласно (9.8.20)] конформный вес хотя сами параметры не являются конформно-взвешенными объектами. Из сказанного в гл. 4, § 15, следует, что части таких скаляров с при конформных движениях сферы преобразуются друг в друга, тогда как части с более высокими значениями этим свойством не обладают (т. е. при таких движениях они могут «подхватывать» части с или ). Таким образом, хотя определение трансляции лоренц-инвариантно, справедливо следующее предложение.

Предложение

Свойство супертрансляций не иметь трансляций не обладает лоренц-инвариантностью.

В этом предложении слова «лоренц-инвариантность» при желании можно было бы заменить словами «БМС-инвариантность». Интересующие нас преобразования Лоренца — это просто конформные движения -сферы. Следовательно, такая

(ограниченная) группа Лоренца может быть интерпретирована как фактор-группа группы

Однако группа Лоренца не появляется канонически как подгруппа группы . Подгруппа группы изоморфна группе но выделяется совершенно не канонически. Предположим, что — это любой элемент группы тогда группа

будет еще одной подгруппой группы и тоже изоморфной ограниченной группе Лоренца, да к тому же (в рамках групповой структуры группы совершенно равноправна с группой . Отличительным свойством группы является то, что она состоит из элементов, оставляющих без изменения частное сечение гиперповерхности Гладкие сечения гиперповерхности называют срезами Инвариантным относительно действия группы остается срез Г, который в заданной системе координат определяется уравнением . Супертрансляция переводит Г в некоторый другой срез и из (9.8.66) следует, что — это подгруппа группы оставляющая срез Г без изменения. Только в том случае, когда — тождественный элемент 1, группы будут представлять собой одно и то же; если же пробегает все значения в , то инвариантный срез пробегает все возможные срезы.

Разумеется, нельзя ожидать, что (ограниченная) группа Лоренца будет естественным образом возникать как подгруппа. Такие надежды необоснованы даже в связи с обычной (ограниченной) группой Пуанкаре пространства где она также возникает естественным образом только как фактор-группа. (Как подгруппа она зависит от выбора произвольного начала отсчета в пространстве М.) Но, что касается группы Я, то здесь ситуация еще хуже, ибо в общем случае даже ограниченная группа Пуанкаре не возникает естественным образом как подгруппа (или хотя бы как фактор-группа) этой группы

Чтобы правильно оценить сложившуюся ситуацию, рассмотрим сначала случай, когда группа относится к гиперповерхности пространства М. Группу можно рассматривать в качестве подгруппы группы генерируемой трансляциями и лоренцевыми вращениями с формулой (9.8.59)]:

В то время как группа не выделяется канонически в семейство групп лоренцевых поворотов вокруг всевозможных различных начал отсчета в пространстве М выделяется. Любая такая подгруппа Лоренца группы возникает как подгруппа

группы оставляющая без изменения определенный тип среза, называемого хорошим срезом и представляющего собой пересечение светового конуса некоторой точки пространства М с гиперповерхностью Хорошие срезы, образующие 4-пара-метрические системы, получаются один из другого в результате трансляций; однако супертрансляции, не являющиеся трансляциями, всегда переводят хороший срез в плохой (т. е. не являющийся хорошим). Следовательно, определение хорошего среза не инвариантно относительно преобразований группы БСМ. Если операция из формулы (9.8.66) не является трансляцией, то определяющая ее группа Ы? должна быть взята вне Аналогично, для такого рода супертрансляции десятипараметрическая подгруппа группы Я

должна отличаться от хотя и изоморфна ей. Фактически, в случае самого общего элемента подгруппы и 9 вместе обладают только трансляциями