Твисторы высшей валентности

Рассмотрим теперь прямое (тензорное) произведение двух твисторов вида

или, выписывая явную зависимость от точки О,

Сравнивая это представление с (6.1.20), находим, что компоненты произведения выражаются через все компоненты следующих четырех спиноров, взятых в точке О:

Спинорные поля (6.1.40) представляют собой спинорные части произведения а их зависимость от точки определяется соотношением (6.1.10) [примененным к твисторам (6.1.38)]. Произвольный -твистор будучи суммой произведений вида полностью характеризуется четырьмя независимыми спинорами, взятыми в точке О, а именно значениями в точке О четырех полей

Мы говорим, что они образуют спинорные части твистора Это особые выделенные взаимосвязанные величины, которые равны суммам произведений вида (6.1.40), сомножители которых определяются выражениями (6.1.38), а зависимость от точки — соотношениями (6.1.10).

Используя обозначения (6.1.41), важно сохранять неизменный порядок спинорных индексов, т. е. нельзя писать отличие от обычных обозначений, см. (2.5.33)] поскольку этот порядок — наше единственное указание в обозначениях на то, какая из спинорных частей имеется в виду. Но эти обозначения могут приводить к путанице, когда индексы поднимаются и опускаются с помощью -символа. Поэтому, если в вычислениях постоянно используются спинорные части определенного твистора, удобнее ввести для них отдельные символы,

При общем же изложении теории твисторов используемые обозначения оказываются очень экономными. Мы часто пишем

По аналогии находим типичные представления для и -твисторов:

Ясно, что в общем случае -твистор имеет спинорных частей, которые, однако, не удается записать в таких же удобных обозначениях, как выше. Например, -твистор имеет восемь независимых спинорных частей вида

Спинорная часть, все индексы которой расположены в верхней позиции (в предыдущем случае называется главной спинорной частью твистора. Часть, все индексы которой находятся в нижних позициях, называется проекционной

Определение (6.1.23) произведения приводит к определениям сверток произвольных твисторов. Практически они сводятся к свертке «соответствующих» спинорных частей по индексам А и А для каждого сворачиваемого твисторного индекса а. Например:

Теперь по аналогии с формулами (6.1.21) и (6.1.37) легко вычислить компоненты произвольных твисторов в базисе (6.1.17). Рассматривая в качестве примера твистор

мы находим [компоненты спинорного поля должны быть взяты в точке О в соответствии с замечанием, сделанным после формулы (6.1.21)]

Здесь левая часть каждого из равенств — компонента твистора, а правая — компонента спинорной части. Поскольку твисторные индексы не штрихованы, а спинорные никогда не принимают значений 2 и 3, вторая строка в соотношениях (6.1.47) определена однозначно. Может показаться, что неоднозначность имеется в первой строке, но это не так. В самом деле, мы имеем следующее правило:

Далее выясним зависимость спинорных частей (6.1.41) -твистора от точки. Зависимостью от точки и от отношения взаимности (полевых) спинорных частей 1-валентных твисторов определяется вид (полевых) спинорных частей всех твисторов. В случае твистора это можно вывести из требования, чтобы (скалярное) поле

образованное из двух произвольных -твисторов было постоянным и, следовательно, равнялось своему значению в начале координат. Действуя далее так же, как при выводе формулы (6.1.25), мы легко находим требуемые соотношения. Чтобы записать их в удобном виде, введем более конкретные обозначения для спинорных частей твистора а именно

(хотя вполне можно было бы использовать обозначения компонент Определенные таким образом спинорные части связаны между собой следующими соотношениями:

Информация, которую несут эти равенства, содержится также в следующих дифференциальных уравнениях [см. формулы

Это можно показать, вычислив производные обеих частей равенств (6.1.51) в начале координат; поскольку выбор начала координат произволен, мы приходим к выводу, что уравнения (6.1.52) выполняются в любой точке. В этом специальном случае твистор полностью определяется одним полем, а именно главной спинорной частью Первое уравнение системы

откуда находим и . Затем, используя второе или третье уравнение системы (6.1.52), находим

Соотношения, аналогичные соотношениям (6.1.51) и (6.1.52), очевидно, имеют место для твисторов любой валентности и могут быть получены тем же способом. Рассмотрим еще один специальный случай, а именно случай -твистора вида (6.1.43), для полевых спинорных частей которого мы тоже введем свои обозначения:

Для таких полей находим

что [аналогично случаю равенств (6.1.51) и (6.1.52)] эквивалентно уравнениям

Замечая, что преобразование

не меняет уравнений (6.1.55), мы видим, что главная спинорная часть твистора определяет его однозначно. Преобразование (6.1.57) изменяет след

этого твистора:

Только при условии, что след известен (например, равен нулю), твистор однозначно восстанавливается по его главной спинорной части

Уравнения, аналогичные уравнениям (6.1.51) и (6.1.55), выполняются для всех твисторов. Определенный класс твисторов, например полностью определяется заданием их главной части. Однако пример твистора показывает, что это не всегда справедливо. Один класс твисторов, которые полностью определяются своей главной частью, состоит из бесследовых симметричных твисторов:

Уравнение, которому удовлетворяет главная часть этого твистора имеет вид

Другой предельный случай — альтернирующие твисторы еаруб, удовлетворяющие уравнениям

Каждый такой твистор имеет шестнадцать спинорных частей, причем лишь шесть из них отличны от нуля. Это спинорные части с двумя штрихованными и двумя нештрихованными индексами, они имеют вид

для

для Главная часть в этих случаях равна нулю. (Она нулю также в случае антисимметричного твистора Оказывается, что только бесследовые симметричные твисторы восстанавливаются однозначно по единственному

спинорному полю (а именно по главной спинорной части), удовлетворяющему одному дифференциальному уравнению первого порядка. В некоторых других случаях (например, в случае кососимметричного -твистора) главная спинорная часть все же определяет твистор полностью, но для ее вычисления недостаточно одного дифференциального уравнения первого порядка. В большинстве же случаев твистор не определяется главной спинорной частью. Например, главная часть симметричного твистора (6.1.60), след которого отличен от нуля, удовлетворяет уравнению (6.1.62), но различные слагаемые, входящие в определение следа, скажем выражения вида не определяются главной частью (т. е. выражения такого вида можно добавлять к не изменяя главной части).

Особый интерес для нас будут представлять симметричные, кососимметричные и эрмитовы 2-валентные твисторы. Твистор вида (6.1.50) будет симметричным, если т. е. если выполняются соотношения

Из уравнений (6.1.52) видно, что для выполнения второго и третьего равенств (6.1.66) достаточно потребовать, чтобы симметрия спинорной части имела место во всех точках-, следовательно, это свойство является достаточным для симметрии твистора . В случае кососимметричного твистора уравнениях (6.1.66) следует поставить знак минус в правой части. Аналогично можно показать, что из требования кососимметричности спинорной части во всех точках автоматически следуют второе и третье уравнения.

Мы говорим, что твистор вида (6.1.54) эрмитов, если

т. е.

Используя уравнение (6.1.55), можно показать, так же как и в случае симметричных спиноров, что эрмитовостью спинорной части во всех точках обеспечивается выполнение второго из уравнений (6.1.68), однако левая и правая части третьего уравнения допускают при этом сдвиг на спинор умноженный на мнимое число. Поэтому из требования эрмитовости спинорной части эрмитовость твистора следует только в том случае, когда след его равен нулю.

В дальнейшем для нас будет важно следующее обстоятельство: главная спинорная часть любого твистора автоматически удовлетворяет дифференциальному уравнению

что явствует из первого уравнения (6.1.52). Кроме того, главная спинорная часть любого твистора автоматически удовлетворяет дифференциальному уравнению

(которое по существу есть конформное уравнение Киллинга, см. § 5), что следует из первого уравнения (6.1.56). По аналогии с уравнением (6.1.1), которому удовлетворяет главная спинорная часть твистора эти два уравнения также конформно-инвариантны при

(на что в случае конформно-плоского пространства указывает их твисторное происхождение). Так же как и относительно уравнения (6.1.1), это можно показать, не делая предположения, что пространство-время является плоским. Более того, так же как при выводе уравнений (6.1.10), можно показать, что общие решения уравнений (6.1.69) и (6.1.70) в в предположении симметрии спинорной части определяются четвертыми уравнениями (6.1.51) и (6.1.55), соответственно. Отметим, что уравнения (6.1.69) и (6.1.70) — это частные случаи уравнения (6.1.62), которое также конформно-инвариантно [формула (5.6.15)], причем

К обсуждению уравнений (6.1.69), (6.1.70) и (6.1.62) мы вернемся позже [§ 7; формула (6.4.1)]. В § 7 будет показано, что все симметричные решения уравнения (6.1.62) есть главные части бесследовых симметричных твисторов.

Рассмотрим теперь вопрос о комплексном сопряжении твистора общего вида. Соответствующее правило по существу следует из определения (6.1.31) для 1-валентных твисторов, а также из требования, чтобы операция комплексного сопряжения коммутировала с операциями умножения и сложения, например:

В частности, рассмотрим твистор

В соответствии с нашим определением имеем

Поскольку в общем случае -твистор есть сумма твисторов типа и аналогично можно рассматривать -твистор самого общего вида, мы формулируем следующее общее правило:

Чтобы выполнить комплексное сопряжение твистора, следует выполнить комплексное сопряжение всех его спинорных частей, расположив их затем в правильном порядке, соответствующем твистору со всеми индексами исходного твистора, перенесенными на противоположный уровень.