§ 3. Собственные спиноры спинора Вейля

Рассмотрим комплексное трехмерное пространство симметричных спиноров валентности в заданной точке Р многообразия Записав спинор Вейля в виде можно считать, что он осуществляет на линейное преобразование

Пространство обладает комплексной метрикой, которая определяется канонически, так что скалярное произведение двух элементов имеет вид

причем выражение в фигурных скобках играет роль «метрического тонзора». Под действием активных спиновых преобразований эти элементы претерпевают собственные комплексные

ортогональные преобразования по отношению к которым указанная метрика, очевидно, инвариантна. Выбрав любую спиновую систему отсчета можно построить соответствующий ортонормированный базис для такой, что

Из нескольких возможных вариантов мы выбрали именно этот, чтобы в дальнейшем наши обозначения согласовались со стандартным выражением для спиновой системы отсчета в пространстве Минковского. К тому же в силу ортонормированности базиса нам не понадобится делать каких-либо различий между верхним и нижним расположением индексов .

Обратно, задав любую ортонормированную триаду мы получим соответствующую спиновую систему отсчета , которая с точностью до знака будет единственной.

В самом деле, поскольку разность — гблв в силу ортонормированности триады изотропна [т. е. ], она единственным (с точностью до знака) образом определяет спинор Этот спинор ортогонален (но не пропорционален) спинору так что каноническое разложение [третье равенство (8.3.3)] элемента при данном выборе знака спинора приводит к единственному спинору Так как разность тоже изотропна и ортогональна спинору она должна быть пропорциональна олов. Теперь осталось лишь удовлетворить требованию нормировки величин чего, очевидно, достаточно наложить на спиновую систему отсчета условие

По отношению к базису (8.3.3) можно определить «декартовы» компоненты произвольного элемента

Отметим, что если спинором определяется электромагнитное поле в соответствии с формулой (5.1.39), то эти компоненты представляют собой всего лишь компоненты комплексного 3-вектора - в стандартном ортонормированном репере с формулами (5.1.59), (5.1.60)].

Аналогично компоненты спинора Тлвсо по отношению к этому базису можно записать в виде следующей матрицы

где рассмотренная ранее [формула (4.11.6)] стандартная форма компонент спинора Вейля. Заметим, что — бесследовая матрица. Это следует из симметрии спинора которая требует равенства

Это фактически единственное ограничение, налагаемое на комплексную матрицу (помимо свойств ее симметрии): оно оставляет только пять независимых матричных элементов, линейносвязанных с .

Собственным спинором спинора Вейля является ненулевой элемент для которого выполняется соотношение

где X — соответствующее комплексное собственное значение. Записывая (8.3.7) с помощью компонент в базисе (8.3.3), можно убедиться, что X — это еще и собственное значение матрицы в обычном смысле слова. Если — три собственных значения матрицы Т, то

и можно заметить, что являются корнями уравнения

С помощью выражения

(в справедливости которого можно убедиться, рассмотрев компоненты левой и правой частей) не составляет труда получить первое из нижеследующих выражений для инвариантных скаляров I и [второе следует из приводимой ниже формулы

Кроме того, из соотношений (8.3.8) следует (после возведения в куб первой строки и вычитания из полученного равенства утроенного произведения первой строки на вторую) равенство

Согласно этому равенству, детерминант матрицы равен что позволяет доказать справедливость второго соотношения (8.3.10), а также [путем возведения в куб второй строки в формуле (8.3.8)] соотношения

на основании чего можно утверждать следующее:

Два или большее число собственных значений X одинаковы