Пример конструкции Уорда

В заключение мы несколько подробнее остановимся на том, как осуществляется конструкция Уорда. В качестве группы Янга — Миллса будем рассматривать группу комплексных матриц ]. Чтобы построить выберем подходящее покрытие подпространства На пересечении каждой пары окрестностей зададим -матрицу твисторных функций, однородных степени 0 и таких, что

причем на пересечении трех окрестностей выполняются условия

[Строго говоря, уравнение (6.10.73) должно быть записано в виде то же самое относится к некоторым формулам ниже. Кроме того, в обозначениях гл. 5, § 4 следовало бы записывать матрицу как но мы для упрощения записи придаем корневой букве матричный смысл, а индексы Янга — Миллса опускаем. Поскольку мы рассматриваем конкретную конструкцию, эти индексы принимают численные [Уравнения (6.10.72) и -нелинейные аналоги уравнений (6.10.57) и

Напишем теперь

Из общей теории следует, что (если выполняется условие «стабильности», упомянутое выше) матрицу (6.10.58).] всегда можно «расщепить» следующим образом:

где матрица будет однородной функцией переменной степени 0 и при заданной линии определяется на пересечении [Это нелинейный аналог условия типа (6.10.59), при котором коцикл является кограницей.] На практике построение расщепления (6.10.75) может оказаться очень сложной задачей; в этом смысле данная конструкция Уорда на самом деле не «явная». Расщепление выполняется неоднозначно, с точностью до «калибровочного преобразования»

где есть голоморфная функция переменной

В силу соотношения (6.10.74) [формула (6.10.6)] оператор дает нуль при действии на Действуя этим оператором на соотношение (6.10.75), получаем на пересечении каждой пары окрестностей равенство

Это равенство можно рассматривать как условие согласования на пересечении окрестностей для (-значной) матрицы , которая при любых фиксированных значениях вектора будет голоморфной и однородной функцией переменной степени 1. Используя условия согласования на пересечениях всех пар открытых множеств (окрестностей) вида продолжаем до глобальной функции (так как имеет смысл радиус-вектора точки образ которой — прямая в — полностью принадлежит рассматриваемой области Отсюда следует равенство

где — некоторое поле в пространстве-времени. Действуя оператором на обе части равенства (6.10.77), получаем

Теперь можно выписать индексы Янга — Миллса явно, заменив на Олечг, а на и переписав последнее уравнение в виде

что дает требуемое условие антисамодуальности в силу второго равенства (5.5.41). Преобразование (6.10.76) индуцирует на полях обычное калибровочное преобразование полей Янга — Миллса

Очевидно, что в случае самодуальных полей возможно вполне аналогичное построение, в котором, однако, роль пространства будет играть пространство (Произвольные поля Янга—Миллса, а не только самодуальные или антисамодуальные, рассматривались методами, близкими к твисторным, в работах [151, 373]. Соответствующая конструкция, однако, не столь проста и эффективна, как конструкция Уорда.)

Отметим, что в конструкции Уорда информация о локальном поле в пространстве-времени «закодирована» в глобальной структуре твисторного описания, тогда как в конкретном твисторном описании нет никакой локальной (дифференциальной)

информации. Какое бы конкретное поле Янга — Миллса мы ни «закодировали» в структуре расслоения вид расслоенного пространства над сколь угодно малой, но конечной областью в будет один и тот же, если не меняется группа 3. Такая «сублимация» локальных полевых уравнений (в пространстве-времени) в глобальную голоморфную структуру есть характерная (и весьма замечательная) особенность твисторного формализма.

Это еще более разительно в случае твисторной конструкции для (анти-) самодуальных решений уравнений («нелинейного гравитона»), о которой мы здесь скажем лишь несколько слов [252] (случай ненулевой космологической постоянной см. в работе [360]). Пусть — комплексное пространство-время (с. 157) с антисамодуальной кривизной Вейля чем обеспечивается локальное существование комплексного 3-параметрического семейства -плоскостей, т. е. комплексных 2-плоскостей, касательные векторы к которым имеют вид я при фиксированных значениях Эти -плоскости отвечают точкам искривленного проективного твисторного пространства а при условии, что масштаб спинора выбран ковариантно-постоянным -точкам пространства Эйнштейновские уравнения и самодуальность играют роль условий интегрируемости, определяющих параллелизм штрихованных спиноров что дает проекцию П: (где — пространство постоянных спиноров . Локально определяется простой -формой Определены также 4-форма объема в и эйлерово векторное поле интегральные кривые которого дают проекцию Выполняются соотношения откуда следуют степени однородности 2 и 4 для соответственно. Чтобы восстановить из мы отождествляем точки пространства с сечениями расслоения, определяемого проекцией П: пара точек на будет разделена изотропным интервалом в том и только том случае, если соответствующие сечения совпадают. Формы служат для того, чтобы фиксировать метрику на (Даже в отсутствие или П такая конструкция, рассматриваемая на дает полуконформно-плоское пространство-время общего вида.) Локально пространство образовано областями с: Т, что следует из формулы где в — бесконечно малая величина, определяет 1-функцию, однородную степени 2.