Пример конструкции Уорда
В заключение мы несколько подробнее остановимся на том, как осуществляется конструкция Уорда. В качестве группы Янга — Миллса 
будем рассматривать группу комплексных матриц 
]. Чтобы построить 
выберем подходящее покрытие 
подпространства 
На пересечении каждой пары окрестностей 
зададим 
-матрицу 
твисторных функций, однородных степени 0 и таких, что
причем на пересечении трех окрестностей выполняются условия
[Строго говоря, уравнение (6.10.73) должно быть записано в виде 
то же самое относится к некоторым формулам ниже. Кроме того, в обозначениях гл. 5, § 4 следовало бы записывать матрицу 
как 
но мы для упрощения записи придаем корневой букве матричный смысл, а индексы Янга — Миллса опускаем. Поскольку мы рассматриваем конкретную конструкцию, эти индексы принимают численные 
[Уравнения (6.10.72) и 
-нелинейные аналоги уравнений (6.10.57) и 
Напишем теперь
Из общей теории следует, что (если выполняется условие «стабильности», упомянутое выше) матрицу (6.10.58).] всегда можно «расщепить» следующим образом:
где матрица 
будет однородной функцией переменной 
степени 0 и при заданной линии 
определяется на пересечении 
[Это нелинейный аналог условия типа (6.10.59), при котором коцикл является кограницей.] На практике построение расщепления (6.10.75) может оказаться очень сложной задачей; в этом смысле данная конструкция Уорда на самом деле не «явная». Расщепление выполняется неоднозначно, с точностью до «калибровочного преобразования»
где 
есть голоморфная функция переменной 
В силу соотношения (6.10.74) [формула (6.10.6)] оператор 
дает нуль при действии на 
Действуя этим оператором на соотношение (6.10.75), получаем на пересечении каждой пары окрестностей равенство
Это равенство можно рассматривать как условие согласования на пересечении 
окрестностей для (
-значной) матрицы 
, которая при любых фиксированных значениях вектора 
будет голоморфной и однородной функцией переменной 
степени 1. Используя условия согласования на пересечениях всех пар открытых множеств (окрестностей) вида 
продолжаем 
до глобальной функции 
(так как 
имеет смысл радиус-вектора точки 
образ которой — прямая 
в 
— полностью принадлежит рассматриваемой области 
Отсюда следует равенство
где 
— некоторое поле в пространстве-времени. Действуя оператором 
на обе части равенства (6.10.77), получаем
Теперь можно выписать индексы Янга — Миллса явно, заменив 
на Олечг, а 
на 
и переписав последнее уравнение в виде
что дает требуемое условие антисамодуальности в силу второго равенства (5.5.41). Преобразование (6.10.76) индуцирует на полях 
обычное калибровочное преобразование полей Янга — Миллса 
Очевидно, что в случае самодуальных полей возможно вполне аналогичное построение, в котором, однако, роль пространства 
будет играть пространство 
(Произвольные поля Янга—Миллса, а не только самодуальные или антисамодуальные, рассматривались методами, близкими к твисторным, в работах [151, 373]. Соответствующая конструкция, однако, не столь проста и эффективна, как конструкция Уорда.)
Отметим, что в конструкции Уорда информация о локальном поле в пространстве-времени «закодирована» в глобальной структуре твисторного описания, тогда как в конкретном твисторном описании нет никакой локальной (дифференциальной)
информации. Какое бы конкретное поле Янга — Миллса мы ни «закодировали» в структуре расслоения вид расслоенного пространства над сколь угодно малой, но конечной областью в 
будет один и тот же, если не меняется группа 3. Такая «сублимация» локальных полевых уравнений (в пространстве-времени) в глобальную голоморфную структуру есть характерная (и весьма замечательная) особенность твисторного формализма.
Это еще более разительно в случае твисторной конструкции для (анти-) самодуальных решений уравнений («нелинейного гравитона»), о которой мы здесь скажем лишь несколько слов [252] (случай ненулевой космологической постоянной см. в работе [360]). Пусть 
— комплексное пространство-время (с. 157) с антисамодуальной кривизной Вейля 
чем обеспечивается локальное существование комплексного 3-параметрического семейства 
-плоскостей, т. е. комплексных 2-плоскостей, касательные векторы к которым имеют вид 
я при фиксированных значениях 
Эти 
-плоскости отвечают точкам искривленного проективного твисторного пространства 
а при условии, что масштаб спинора 
выбран ковариантно-постоянным 
-точкам пространства 
Эйнштейновские уравнения 
и самодуальность играют роль условий интегрируемости, определяющих параллелизм штрихованных спиноров 
что дает проекцию П: 
(где 
— пространство постоянных спиноров 
. Локально 
определяется простой 
-формой 
Определены также 4-форма объема в 
и эйлерово векторное поле 
интегральные кривые которого дают проекцию Выполняются соотношения 
откуда следуют степени однородности 2 и 4 для 
соответственно. Чтобы восстановить 
из 
мы отождествляем точки пространства 
с сечениями расслоения, определяемого проекцией П: пара точек на 
будет разделена изотропным интервалом в том и только том случае, если соответствующие сечения совпадают. Формы 
служат для того, чтобы фиксировать метрику на 
(Даже в отсутствие 
или П такая конструкция, рассматриваемая на 
дает полуконформно-плоское пространство-время 
общего вида.) Локально пространство 
образовано областями с: Т, что следует из формулы 
где в — бесконечно малая величина, 
определяет 1-функцию, однородную степени 2.
