Конформные свойства величин

Установим теперь закон преобразования величин при конформных преобразованиях. Для этого удобно воспользоваться тождеством

которое получается из выражения (5.8.4). Умножая его на 2/3 и складывая с умноженным на 1/3 таким же тождеством, в котором переставлены индексы А и В, получаем

где

Рассмотрим теперь результат действия конформного преобразования на равенство (6.8.11), в котором мы полагаем

Оба слагаемых в левой части равенства (6.8.11) содержат производные от выражений вида которые являются, как показано выше, конформными плотностями:

Вычислим теперь разность равенства (6.8.11) и его конформного образа. В силу соотношения (6.8.13) в левую часть полученного равенства смогут входить только слагаемые, содержащие первые

производные от спиноров Эти слагаемые обязательно должны взаимно уничтожаться. Левая часть нового равенства будет содержать только непродифференцированные и однократно продифференцированные спиноры но, поскольку величины и независимы в произвольно выбранной точке (причем может принимать любые значения), эти два типа слагаемых должны уничтожаться независимо. Таким образом, можно рассматривать лишь правую часть в равенстве (6.8.11), опуская однократные производные спиноров которые появляются при конформных преобразованиях. Имеем

На этом основании, вычитая из конформного образа равенства (6.8.11) исходное равенство (6.8.11) и опуская члены с однократными производными спиноров получаем

Поскольку величины произвольны, находим закон преобразования величины при конформных преобразованиях

Благодаря соотношению

из равенства (6.8.14) следует также закон преобразования тензора Отметим, однако, что данная конкретная комбинация следа и бесследовой части тензора совпадающая с часто входит в формулы, связанные с конформными преобразованиями.

В этой связи отметим, что формулу (4.8.2), в которой тензор выражается через тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну, можно переписать в виде

тогда как тождество Бианки (4.10.1) принимает вид

а его спинорный эквивалент [формула (4.10.3)] — вид

Сразу же видна симметрия

Такая симметрия выражения (6.8.14) обусловлена тем, что есть градиент [формула (5.6.14)] и, значит,

Иногда полезны другие формы записи закона преобразования (6.8.14):

[это выражение получается из (6.8.14), если поменять ролями и что эквивалентно замене и, следовательно, , а также

[что получается, если подставить первое выражение (5.6.14) в (6.8.14) и использовать соотношение (3.4.13)].

Вычисляя след и бесследовые части выражений (6.8.14), (6.8.22) и используя равенства [формула (6.8.12)]

получаем

где [формула (5.10.6)]