Квазилокальный твистор момента импульса

Одно из возможных определений 2-формы на , применимое в полной общей теории относительности [259], получается подстановкой выражения (9.9.14) в (9.9.3), а затем полученного тензора вместе с полной кривизной — в формулу (9.9.1):

Действительно, имеются довольно убедительные доказательства [337] того, что в случае неконтортной поверхности это определение дает меру массы-энергии в общей теории относительности, превосходно (и даже замечательно) согласующуюся с физическими требованиями. Но в настоящее время имеются основания считать (как указывают и работы Тода, Келли и Вудхауса), что в общем случае контортной поверхности следует не просто проинтегрировать выражение (9.9.15) по 3? [как требует стандартная процедура (4.3.24)], но ввести дополнительный множитель. Напишем

где [в силу формул (9.9.15), (9.9.3) и (3.4.22)]

[ср. с формулой (4.6.38)]. Вместо того чтобы интегрировать 0 по , мы интегрируем 2-форму

где — комплексная скалярная величина на предлагаемое определение которой будет дано ниже. Если поверхность неконтортна, то следует положить и это будет справедливо и для контортных сечений гиперповерхности Получим [обозначив через -форму элемента поверхности, как в формуле (4.14.65)]

в соответствии с формулами (4.14.53), (4.14.66), где определяется формулой (9.9.14).

Напомним теперь о дуальности твистора и твистора момента-импульса обсуждавшейся в гл. 6, § 5.

Приравнивая (6.5.53) и (6.5.51), применительно к рассматриваемой ситуации будем иметь

откуда (в силу нелинейности)

Здесь — произвольные элементы пространства соответствующие решениям уравнения (9.9.13). Соотношение (9.9.19) определяет величину как «твистор момента-импульса», описывающий суммарный источник гравитационного поля, окруженный поверхностью .

Заметим, что в соответствии с определением (9.9.19) величина имеет десять компонент (поскольку пространство комплексно-десятимерно). Но чтобы данная ее физическая интерпретация была полностью удовлетворительна, необходимо, как можно полагать, дополнительно наложить некоторое аналогичное условию (6.3.12) условие эрмитовости типа

сводящее десять комплексных компонент к десяти действительным. Однако точная форма такого условия пока не найдена. Чтобы хотя бы сказать, что должно означать условие типа (9.9.20), необходимы два момента. Во-первых, нужно ввести операцию (инволюции) твисторного комплексного сопряжения для переводящего это пространство в дуальное пространство:

так чтобы получающееся скалярное произведение имело сигнатуру Во-вторых, очевидно, необходим (простой? твисторно-действительный?) элемент

который должен входить в условие (9.9.20).

Возможный путь реализации этого таков: ввести локальное твисторное поле на 9 (см. гл. 6, § 9) для каждого положив

причем вместе с (9.9.13) эти соотношения являются тангенциальными частями на М уравнения (6.1.9). Нетрудно убедиться, что формулы преобразования (6.9.6) локальных твисторов при конформном изменении масштаба выполняются. Однако твистор вообще говоря, не будет постоянным при локальном твисторном переносе (6.9.10), если не считать случая, когда пространство конформно-плоское. Построим теперь конформно-инвариантное скалярное поле на

поскольку величины действительны. До тех пор пока величина (9.9.24) постоянна на это будет конформно-инвариантное число, которое нужным образом задает эрмитову твисторную норму для Однако в общем случае выражение не постоянно на причем условием постоянства для всех является неконтортность поверхности 9 (см., например, работу [155]). В случае контортной поверхности можно пытаться преодолеть возникающую трудность усреднением

или, возможно, иначе:

где — гауссова кривизна поверхности [см. формулы (4.14.20), (4.14.21), или же использовать некоторое выражение, содержащее Это дает два (или более) способа введения произведения, осуществляющего отображение (9.9.21). Но ни один из них не обеспечивает конформной инвариантности.

С соотношением (9.9.22) возникают на первый взгляд аналогичные проблемы. Например, можно было бы ввести скалярное поле на :

но оно опять в общем случае непостоянно (даже для неконтортной поверхности Если усреднить это выражение по , то соображения, связанные с конформной инвариантностью, перестают быть существенными. Однако получающаяся величина в общем случае не оказывается простой [в смысле предложений (3.5.30) и (3.5.35)]. Такой твистор не

удовлетворяющий указанному критерию простоты, все же можно было бы использовать в условии (9.9.20); более того, есть веские основания полагать, что в общем случае необходимо использовать такой твистор «деситтеровского» типа. Пока не известно, действительно ли соотношение (9.9.20) выполняется с таким твистором возможно дополнительно модифицированным некоторым членом (или членами) с .

Разрешение этих трудностей требует дальнейших исследований. Как мы увидим вскоре, ситуация на намного приятней. Более того, как было показано Шоу [310], в предельном случае, когда стремится к пространственноподобной бесконечности приемлемое определение и соответствующей нормы существует и условие (9.9.20) выполняется, если только кривизна удовлетворяет подходящим условиям убывания. В этом случае достигается полное согласие с определением массы Арновитта — Дезера — Мизнера [4] и определением Аштекара — Хансена [7] момента импульса. Прежде чем обратиться к случаю следует сделать некоторые замечания, касающиеся общего случая произвольной поверхности Заметим сначала, что в пространстве М справедлива формула

для квадрата массы покоя которая без труда получается из (6.3.11), причем здесь требуется только операция твисторного комплексного сопряжения, но не нужно введение Таким образом, можно воспользоваться соотношениями (9.9.25) или (9.9.26) и предложить два возможных альтернативных определения «квазилокальной массы покоя» в общей теории относительности (т. е. массы покоя, заключенной внутри конечной замкнутой двумерной поверхности). Тодом [337] была также предложена модификация формулы (9.9.28), в которой используется определитель твистора вместо нормы.

Отметим также указанное Тодом [337] соотношение, которое справедливо при а именно выражение (9.9.19), переписанное в замечательно простой форме

[При доказательстве используются соотношения (9.9.13), (9.9.23), (4.12.32д), (4.12.35) и формула интегрирования по частям (4.14.71); доказательство оказывается простым, если начать с формулы (9.9.29).] Имеется интригующее сходство между формулами (9.9.29) и (9.9.27), указывающее на то, что

соотношение типа (9.9.20) можно было бы получить, если найти подходящие определения. Выражение (9.9.29) окажется для нас важным в конце этого параграфа. Если то формула (9.9.29) модифицируется путем замены каждого множителя величиной а каждого множителя величиной и добавления члена где

Чтобы обосновать введение величины в формулу (9.9.19) и ее определение, к которому мы перейдем далее, полезно привести некоторые результаты, полученные Тодом [337] в различных случаях неконтортных поверхностей . Будем рассматривать квазилокальную массу покоя определяемую формулой (9.9.28); она однозначна, поскольку во всех случаях неконтортности норма (9.9.24) постоянна на

Для пространства-времени Шварцшильда получен замечательный результат: в случае поверхности , лежащей на любой гиперповерхности сферической симметрии (определяемой в обычных шварцшильдовых координатах некоторым соотношением, фиксирующим функциональную зависимость и , масса оказывается в точности шварцшильдовой массой, если охватывает источник (и только один раз), и если 9? не охватывает источник. (Сама поверхность 9 не обладает сферической симметрией гиперповерхности и может произвольно располагаться внутри Такая поверхность неконтортна).

Похожие результаты получаются в произвольном вакуумном пространстве-времени, содержащем конформно-плоскую гиперповерхность симметричную во времени, причем может содержать «источники» либо в виде заполненных материей областей, либо в виде «кротовых нор» [207] Снова, при условии масса зависит только от того, охватывает ли поверхность источники, независимо от ее конкретного положения в Если обозначить через значение получаемое, когда 97 охватывает только источник (один раз), и через значение, получаемое, когда охватывает источники (по одному разу каждый), то мы получим физически приемлемый результат

Это указывает на то, что вклад гравитационной потенциальной энергии уже содержится в определениях (9.9.19), (9.9.28) [причем вклад гравитационного излучения равен нулю в Действительно, в пределе слабого поля разность

оказывается в точности равной ньютоновскому -члену потенциальной энергии.

[Эти результаты были получены с помощью введенного Тодом понятия твистора 3-мерной поверхности, которое вводится применительно к гиперповерхности с нормалью обладающей теми свойствами, что 1) магнитная часть

тензора Вейля равна нулю на и 2) магнитная часть

нормальной производной тензора Вейля также равна нулю на (Второе условие в вакууме можно сформулировать как обращение в нуль ротора электрической части тензора Саьса на , который определен подобно тензору но без дуализации.) Такая гиперповерхность «неконтортна» в том смысле, что может быть погружена в конформно-плоское пространство-время с той же внутренней метрикой и внешней кривизной для и любая 2-поверхность , лежащая в тоже будет неконтортна. Свойством такой гиперповерхности является возможность задания на ней твисторов 3-мерной поверхности, которые являются решением частей уравнения (9.9.12), содержащих производные, которые действуют лишь внутри а именно

(Фактически они являются также твисторами гиперповерхности для см. текст, относящийся к соотношению (7.4.52), которое является в определенном смысле дуальным приведенному уравнению, так что величины постоянны вдоль -кривых. Здесь

Выражения для квазилокальной массы можно также применять, если поверхность 9 лежит внутри областей, заполненных материей. В частности, в случае сферически-симметричного (электровакуумного) пространства-времени Райсснера — Нордстрема

величина теперь определяется не только тем, охватывается ли поверхностью источник массы, но и вкладом в массу энергии электромагнитного поля. Модели Фридмана — Робертсона — Уокера (см. § 5), будучи конформно-плоскими, относительно легко исследовать. В частности, показал, что если поверхность 91 обладает вращательной симметрией, то величина равна массе, которая была бы окружена сферой равной площади в евклидовом пространстве, заполненном жидкостью той же плотности, что и в исследуемой модели. Таким образом, в частности, в случае пространственно-замкнутой модели величина возрастает по мере того как сфера расширяется, достигает максимального значения для «экваториальной» сферы и затем уменьшается до нуля по мере того как сфера сжимается в точку. Это показывает, что полная масса в данной модели равна нулю в согласии с выводами других подходов [207]. Отрицательными вкладами потенциальной энергии в точности компенсируется вклад материи. Более того, весьма общим свойством нашей конструкции является то, что полная масса любой модели замкнутой вселенной равна нулю. Это частный случай еще более общего свойства масса по одну сторону любой конечной поверхности должна быть равна массе по другую сторону, что непосредственно видно из симметрии выражения (9.9.19).