§ 4. БСК, твисторы и геометрия лучей

Существует глубокая внутренняя связь между БСК в пространстве Минковского и однородными голоморфными функциями твисторов. Мы проиллюстрируем эту связь на ряде конкретных результатов, первый из которых был получен Керром до появления теории твисторов. Будут приведены как первоначальная формулировка теоремы Керра, так и ее твисторный вариант. Далее в оставшейся части параграфа мы покажем, как идеи твисторов могут быть использованы в искривленном пространстве-времени, и в заключение приведем формулировку теоремы Керра, справедливую (по отношению к гиперповерхности) в общем случае произвольного пространства-времени.

Первоначальная формулировка теоремы Керра

В пространстве Минковского введем спинорные координаты

в которых компоненты радиус-вектора точки вычисляются по отношению к неподвижной спиновой системе отсчета Следовательно, метрика записывается в виде

Величины связаны со стандартной системой координат Минковского соотношением (3.1.31). Поскольку координаты принимают комплексные значения, мы вводим обозначение вместо . Предположим, что есть БСК, т. е.

и выберем такой масштаб на чтобы выполнялись соотношения

Таким образом, комплексным числом X определяется изотропное направление БСК, в каждой точке совпадающее с направлением флагштока спинора Через спинорные координаты точки общего положения это направление задается соотношением

эквивалентным равенству

Рассмотрим теперь соотношение (7.4.3) как уравнение относительно неизвестной X, зависящей от переменных . Подставляя (7.4.4) в (7.4.3) и учитывая, что спиновая система отсчета образована постоянными спин-векторами, получаем систему уравнений для X:

Можно положить

так что

Тогда

откуда следует, что если выполняется равенство Поэтому X — постоянная величина, если постоянны величины и . В теории функций действительных переменных доказывается, что в этом случае должно существовать функциональное уравнение

где произвольная функция переменных [59]. Этот результат непосредственно неприменим в нашем случае, поскольку в пространстве Минковского действительны только и и тогда как величины комплексно-сопряжены, а величина X тоже комплексна. Эту трудность можно обойти, если принять, что X — аналитическая функция переменных и и и, а также действительной и мнимой частей переменной . В этом случае процедура комплексификации, изложенная в § 3, позволяет перейти от М к так что при этом и и приобретают мнимые части, а становятся независимыми комплексными переменными. Если X продолжается на комплексные значения этих переменных как голоморфная функция, то метод решения (7.4.7) формально применим при условии, что функция голоморфная. Более того, при указанных ограничениях на X справедливо обратное утверждение о том, что уравнение (7.4.7) дает общее решение системы (7.4.6). Без таких ограничений на X указанный результат может оказаться неверным. [В самом деле, в М существуют неаналитические БСК, например система изотропных лучей без вращения, пересекающих неаналитическую кривую. Вообще говоря, их нельзя получить указанным способом, если не вводить некую предельную процедуру. БСК с вращением тоже могут быть неаналитическими, но в этом случае можно показать, что решение вида (7.4.7) определено; см. замечания в конце параграфа]. Итак, мы имеем.

Теорема (Керра)

Произвольную аналитическую БСК в локально можно получить, выбрав произвольную голоморфную функцию трех комплексных переменных и положив Решив это уравнение относительно X, можно найти направление БСК в каждой точке пространства М с помощью соотношений (7.4.5) — действительные величины, — комплексная).