Описание в трехмерном пространстве Минковского

Обратимся теперь к уравнению (7.2.11) в искривленном пространстве-времени общего вида, где для простоты мы будем рассматривать лишь изопараметрические лучи. Матрицы вновь имеют формат , причем — произвольная эрмитова -матрица. Для большего упрощения выберем конгруэнцию без вращения (т. е. конгруэнцию, лучи которой являются образующими изотропной гиперповерхности), так что откуда следует, что матрица Р тоже эрмитова. Следуя предложению Росса (N. F. Ross), мы вводим трехмерную метрику «Минковского»

в пространстве точками которого являются матрицы Р. По существу нас будет интересовать лишь конформная структура пространства т. е. структура изотропных конусов, определяемая метрикой (7.2.33). Две точки этого пространства разделены изотропным интервалом [т. е. принадлежат некоторому «световому лучу» в -изотропной геодезической в метрике (7.2.33)] в том и только в том случае, если коэффициенты матриц удовлетворяют уравнению

т. е.

или

для некоторой ненулевой -матрицы Это означает, что два пучка изопараметрических лучей, соседних с описываемые матрицами Р! и соответственно, имеют общий луч (отличный от Таким образом, конформная метрика (эквивалентная структуре световых лучей), определяемая соотношением (7.2.33), имеет инвариантный геометрический смысл независимо от специального выбора точки Р на в которой определяются значения и . Когда точка Р движется вдоль величины изменяются, но пространство 0 при этом рассматривается как неизменное, причем различным его точкам отвечают разные пучки лучей без вращения, изопараметрические с лучом Различным точкам Р соответствует разный выбор «координат» в пространстве Каждому такому выбору отвечает метрика вида (7.2.33). Для разных точек Р эти метрики неодинаковы, но в силу сказанного выше, они должны быть связаны друг с другом конформным преобразованием.

В последнем легко убедиться, если воспользоваться уравнением Сакса (7.2.12), примененным к

Здесь символ означает бесконечно малое изменение, отвечающее выбору близкого к изопараметрического луча, а не изменению положения точки Р (последняя вариация обозначается символом Поэтому, чтобы получить требуемый результат, мы полагаем в формуле (7.2.37). [Отметим, что эти вычисления справедливы и в случае полей с вращением, когда . В этом случае метрика (7.2.33) заменяется метрикой а результат вариации положения точки Р имеет вид: Следовательно, в случае изопараметрических лучей с вращением вместо «трехмерного пространства Минковского» с сигнатурой мы должны рассматривать конформные метрики, отвечающие четырехмерному пространству с сигнатурой

Одно из преимуществ данного подхода (как отмечал Росс) состоит в том, что он позволяет рассматривать и такие положения точки Р, для которых и (быть может) а становятся бесконечно большими (каустические точки), например соседние с лучи в вершине светового конуса, содержащего . В этом случае следует рассматривать конформную компактификацию пространства следуя процедуре перехода от М к описываемой в гл. 9, § 2 (см. примечание на с. 353). Оказывается, что конформные изменения масштаба, индуцированные на движением точки Р вдоль луча следует связывать со структурой пространства а не Их можно рассматривать как пассивные преобразования на т. е. переход от одной системы координат к другой, причем ни одна из этих систем координат не покрывает полностью.

Сама точка Р приобретает в пространстве смысл точки, представляющей совокупность лучей, соседних с образующих световой конус точки Р в Когда точка Р смещается вдоль луча ее образ в претерпевает гладкую деформацию, смещаясь вдоль линии, времениподобной в смысле метрики

В этом направлении можно получить ряд интересных результатов, но мы не будем здесь на этом останавливаться. Отметим, однако, что пространство получается также в ином подходе как пространство лагранжевых 2-плоскостей в четырехмерном симплектическом векторном пространстве, элементами которого являются все соседние с изопараметрические лучи.

Симплектическая структура в этом пространстве дается в точности формой (7.2.18). (Подробно эта структура исследуется в работе [377] в частности, см. с. 307 данной работы, где компактифицированное 3-мерное пространство Минковского рассмотрено с этих позиций.)