Конформно-инвариантные первые производные

Как отмечалось выше, из соотношений (6.1.60) — (6.1.62) следует тесная связь уравнения (6.7.10) с понятием твистора. Всякое симметричное решение этого уравнения в пространстве (VI есть в точности главная спинорная часть однозначно определенного бесследового симметричного твистора

Это можно сформулировать иначе: для каждого изотропного твистора величина

совпадает с выражением (6.7.11) в каждой точке Р соответствующего светового луча на и единственной спинорной частью твистора свертка которой не содержит множителей будет Следовательно, общее симметричное решение уравнения (6.7.10) дается подходящим обобщением соотношений (6.1.10), (6.1.26), (6.1.51), (6.1.55). Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим бесследовый симметричный . Его главная спинорная часть Хлвс дается выражением

содержащим постоянные спиноры . Дифференцированием этого выражения с последующей симметризацией непосредственно убеждаемся, что оно действительно является решением уравнения (6.7.10).

Поскольку бесследовые симметричные твисторы вполне определяются симметричными решениями уравнения (6.7.10), можно предположить, что последнее конформно-инвариантно [формула (6.1.72)]. Действительно, при

находим, что симметризованная производная, входящая в уравнение (6.7.10), есть по существу конформный спинор. Это можно показать, прямо применив формулу (5.6.15). Результат имеет

Это выражение определено не только в плоском или конформноплоском пространстве, но и в искривленном пространстве общего вида.

Наличие свойства конформной инвариантности у симметризованной производной на спинорах с каким-то определенным конформным весом не удивительно. Важно то, что в результате симметризации мы из неприводимого спинора вновь получаем спинор, неприводимый в каждой точке (гл. 3, § 3). Следовательно, в производной имеется слагаемое, содержащее , лишь одного типа, но выбор в (6.7.27) нулевого конформного веса обеспечивает обращение этого слагаемого в нуль.

По той же причине симметричные спиноры, полученные с помощью различных операций, содержащих свернутые или симметризованные производные, характеризуются определенным конформным весом. Выбирая наиболее естественное

расположение верхних и нижних индексов, мы получаем для симметричного спинора следующее соотношение:

если

а также

если

[что не совпадает с равенством (6.7.30), если не выполняется условие в то же время

где

Все эти соотношения выполняются как в плоском и конформноплоском пространстве-времени, так и в произвольном пространстве-времени. Несколько частных случаев мы уже рассмотрели выше. Например, из соотношений (6.7.31) и (6.7.32) в частном случае, когда индексы отсутствуют, следует конформная инвариантность безмассовых уравнений (4.12.42). Можно также заново доказать конформную инвариантность уравнений (6.4.13), (6.4.15). Отметим, что из равенства (6.7.33) следует конформная инвариантность уравнения для дивергенции ковектора веса —2 или симметричного бесследового тензора валентности и веса —2, отмечавшаяся в гл. 5, § 9.