Спиноры: Законы сохранения
Существует важная связь между (конформными) векторами Киллинга и законами сохранения в общей теории относительности. Допустим, что 
— симметричный тензор энергии-импульса, дивергенция которого, как обычно, равна нулю:
Если рассматриваемое пространство-время допускает поле вектора Киллинга то величина
удовлетворяет уравнению
в силу равенств (6.5.9) и (6.5.8), поскольку 
. Таким образом, вектор 
удовлетворяет уравнению непрерывности, которое аналогично уравнению 
для 4-вектора тока 
[формула (5.1.54)].
Теорема непрерывности, утверждающая, что интеграл по
3-объему от величины 
или 
есть сохраняющаяся величина, справедлива не только в плоском, но и в искривленном пространстве-времени. В самом деле, в формуле (5.9.6) мы видели, что при использовании дифференциальных форм условие равенства нулю дивергенции записывается в виде 
где 
так же, как в формуле (5.9.5), а сохраняющаяся величина есть интеграл 
вычисленный по 3-объему. Теорема непрерывности есть частный случай фундаментальной теоремы внешнего исчисления (4.3.25): интеграл от формы 
по трехмерной границе любой компактной четырехмерной области равен нулю — в нашем случае роль границы играет начальное и конечное положение 3-объема. То же справедливо в отношении формы 
Однако тензор 
входящий в уравнение (6.5.9), сам по себе не определяет никакой сохраняющейся величины. «Лишний» индекс в выражении 
не позволяет использовать теорему непрерывности в искривленном пространстве-времени. Лишь в том случае, когда имеется вектор Киллинга 1°, можно построить сохраняющийся ток.
Пространство М допускает десять независимых векторов Киллинга. Каждый из них дает сохраняющуюся величину при подстановке в формулу (6.5.10). Генераторы трансляций дают четыре сохраняющиеся величины, а именно энергию и три импульса. Генераторы лоренцевых вращений определяют шесть компонент релятивистского углового момента, из которых три описывают обычный нерелятивистский угловой момент, а остальные три — положение центра масс и его равномерное движение.
Предположим теперь, что имеет смысл конформного вектора Киллинга. Тогда из (6.5.2) следует, что соотношение (6.5.11) остается справедливым, если только след тензора 
равен нулю:
Напомним, что если тензор бесследовый, то уравнение для дивергенции 
будет конформно-инвариантным [формула (5.9.2) и далее]. Нулевой след имеют тензоры энергии-импульса для поля Максвелла и для нейтрино Дирака — Вейля, а также «улучшенные» тензоры энергии-импульса безмассового
скалярного поля [см. формулы (5.2.4), (5.8.3) и (6.8.36)]. На основании теоремы Нётер в рамках лагранжева формализма можно показать, что конформно-инвариантные поля всегда описываются тензорами энергии-импульса с нулевым следом [352, 448]. Следовательно, такие поля характеризуются сохраняющимися величинами, число которых равно числу конформных векторов Киллинга в пространстве-времени. В пространстве Минковского имеется 15 независимых конформных векторов Киллинга и, следовательно, 15 независимых сохраняющихся величин. Таким образом, мы имеем пять дополнительных законов сохранения (сверх законов сохранения энергии, импульса и момента импульса), отвечающих генераторам инфинитезимальных растяжений (один) и специальным конформным преобразованиям (четыре) [формулы (6.5.6), (6.5.7)].
