Твисторные решения различных уравнений

Оказывается, что в пространстве Минковского М твисторными методами можно решать не только уравнение (6.7.10), но также уравнения, которые получаются приравниванием нулю выражений (6.7.29), (6.7.31) и (6.7.33). Здесь мы не будем подробно рассматривать все эти уравнения, поскольку это увело бы нас слишком далеко. Тем не менее имеет смысл хотя бы просто привести формулы, которые описывают класс общих (аналитических) решений этих уравнений, и объяснить, почему это будут решения. Для полноты мы также выпишем решение уравнения (6.7.10) в несколько ином виде. Те специальные случаи соотношений (6.7.29) и (6.7.31), которые приводят к безмассовым полевым уравнениям, мы рассмотрим более подробно в § 10, где также приведем иную, более общую форму записи их решений.

Возьмем твисторы и как в формулах (6.1.13) и (6.1.24). Нас будут интересовать голоморфные функции твисторов т. е. голоморфные функции их компонент, взятых в некотором твисторном базисе вида (6.1.17), (6.1.34). Эти функции могут иметь особенности в некоторых областях подходящего для нас вида. Пусть

есть голоморфная и однородная функция своих аргументов со следующими показателями однородности по

причем имеет нештрихованных и штрихованных индексов и дополнительно предполагается, что — полином по той переменной, которой отвечает неотрицательный показатель однородности. Для наших целей достаточно ограничить область определения функции подпространством , для которого выполняется условие взаимности

формулы (6.2.13), (9.3.17)]. Относя твисторы к фиксированному началу отсчета при условии [эти спиноры параметризуем их значениями в точке О, см. формулу (6.1.14) и далее] можно показать, что существует вектор в О (не обязательно действительный), такой, что

(Это легко показать, рассмотрев компоненты.) Вектор определен неоднозначно, допустимые преобразования имеют вид . Таким образом, геометрическое место точек комплексифицированного пространства Минковского положений переменного вектора есть комплексная изотропная прямая. (Геометрический смысл этого исследуется в гл. 9, § 3.) Отметим, что из изложенного, в § 1, 2 следует, что есть в точности геометрическое место точек, инцидентных как твистору так и твистору в пространстве

Далее, функцию можно выразить через переменные и а потому напишем [в области, в которой выполнено

соотношение (6.7.36)]

при допустимых значениях переменных причем функция будет однородной по со степенями однородности, указанными в формуле (6.7.35).

Далее рассмотрим выражения

При вычислении интегралов в правую часть следует подставить функцию вместо согласно формуле (6.7.38). То, что в левой части каждого из равенств стоит величина зависящая только от и не зависящая от или следует либо из предположения о полиномиальном характере функции либо из того, что зависимость от спинорных переменных исчезает в результате интегрирования в правой части.

Интеграл в выражении (6.7.40) вычисляется вдоль замкнутого одномерного контура в спиновом пространстве переменной при фиксированных значениях переменных контур обходит определенным образом особенности функции и деформируется непрерывно при вариации В формуле (6.7.41) интеграл вычисляется по замкнутому одномерному контуру в спиновом пространстве переменной при фиксированных значениях и также деформируется непрерывно при вариации этих переменных. В (6.7.42) интеграл вычисляется по двумерному контуру в пространстве прямого произведения спиноров при фиксированном значении и положение контура непрерывно изменяется с переменной В каждом случае показатели однородности, приведенные в (6.7.35), выбраны так, что указанные интегралы действительно имеют смысл «интегралов по контуру», т. е. их значения не изменяются при непрерывной деформации контура, если последний не пересекает сингулярностей функции Это свойство следует из того, что внешняя производная [формулы (4.3.14) и (4.3.25)] подынтегральных выражений при фиксированном значении равна нулю, если показатели однородности выбраны так, как указано выше [см. текст после формулы (6.10.4)].

Выбор симметричных спиноров позволяет однозначно фиксировать их как функции параметра при всех его значениях, при которых контуры интегрирования существуют, а в случае (6.7.39) — при всех значениях Величина имеет смысл радиус-вектора, направленного из точки О в некоторую точку в пространстве Мы видели также, что соотношения (6.7.37) выражают условия взаимности каждого из твисторов с точкой Далее, мы можем рассматривать как функцию восьми независимых комплексных переменных, если она представлена как т. е. как функция переменных . В этом случае дополнительное условие (6.7.36) для твисторов подразумевается неявно, так что интересующие нас значения в действительности определяются комплексно-семимерным многообразием ее аргументов. Следовательно, функция рассматриваемая как функция переменных и должна удовлетворять дополнительному условию. Это условие имеет вид

где введено обозначение для производной по вычисляемой при фиксированных и . В самом деле, из соотношения

следует равенство а из соотношения

— равенство Уравнение (6.7.43) можно записать в виде

или

Действуя оператором, входящим в (6.7.43), на (6.7.39), оператором, входящим в выражение (6.7.44), на (6.7.40), оператором, входящим в (6.7.45), на равенство (6.7.41) и оператором на (6.7.42), находим, что получающиеся выражения равны нулю. Поскольку это справедливо при всех значениях обращение в нуль производных в формулах (6.7.28), (6.7.29), (6.7.31), (6.7.33) автоматически следует из вида соответствующих выражений в формулах (6.7.39) — (6.7.42).

Отметим, что в силу предположения о полиномиальном характере функции в соотношении (6.7.39) можно написать

Вследствие равенства (6.7.36) в определение поля входит только бесследовая и симметричная часть твистора Поэтому поля такого вида отвечают бесследовым, симметричным твисторам, и мы вновь возвращаемся к классу решений, описанному ранее в связи с уравнением (6.7.10). Легко видеть, что справедливы следующие представления:

в (6.7.40) и

Ранее мы отмечали, что, приравнивая нулю выражение (6.7.31) при [или выражение (6.7.29) при р = 0], мы получаем уравнения, описывающие безмассовые поля со спином [или со спином Таким образом, формула (6.7.31) [или (6.7.29)] дает сжатую форму записи решений этих уравнений в М с использованием твисторных голоморфных функций (см. также § 10 ниже).