Твисторы двумерной поверхности

Нам нужен аналог уравнения (9.9.4) для заданной замкнутой двумерной поверхности 9. Как мы только что заметили, само по себе уравнение (9.9.4), вообще говоря, не имеет нетривиальных решений в Однако с физической точки зрения желательно иметь подобные решения, потому что в вакуумной области каждое такое решение давало бы и мы имели бы закон сохранения без гравитации в том смысле, что рассматриваемый интеграл не изменял бы своего значения при непрерывной деформации поверхности в такой области независимо от наличия гравитационного поля. Однако мы требуем, чтобы поле обеспечило нас только определением энергии и т. д. на , а не столь сильным законом сохранения. Поэтому мы можем попытаться рассмотреть только те компоненты уравнения (9.9.4), в которых производная действует тангенциально. Предположим, что поверхность пространственноподобна, и воспользуемся модифицированным формализмом спиновых коэффициентов, выбрав спиновую систему отсчета , адаптированную к стандартным образом (см. гл. 4, § 14). Однако мы найдем, что только два члена, которые получаются сворачиванием уравнения (9.9.4) с

содержат тангенциальные производные, тогда как поле имеет три независимые комплексные компоненты. Таким образом, мы имеем недоопределенную систему с бесконечномерным, а не десятимерным пространством решений.

Нам необходимо сделать нечто более тонкое. Вместо того чтобы вводить непосредственно элементы нужного нам пространства можно понимать это пространство как возникающее вторично в виде симметризованного тензорного произведения на самого себя «твисторного пространства» валентности ассоциированного с . Таким образом, вместо того чтобы рассматривать тангенциальную часть уравнения (9.9.4), будем интересоваться тангенциальной частью первоначального твисторного уравнения (6.1.1):

Сворачивая с получаем два тангенциальных уравнения для двух комплексных компонент типов,

соответственно, [ранее эти уравнения были получены в формуле (4.12.46)]; в модифицированном формализме спиновых коэффициентов они имеют вид

(Подчеркнем: .)

Любое решение системы (9.9.13) (твистор в абстрактно-индексной форме) на всей замкнутой поверхности называется твистором двумерной поверхности на валентности , а пространство таких решений будет обозначаться символом Оказывается, что в действительности для любой поверхности имеющей топологию 2-сферы, система (9.9.13) будет всегда иметь по крайней мере четыре комплексных линейно-независимых решения. Кроме того, в генерическом случае и в случаях, достаточно близких к канонической ситуации, когда, как в гл. 4, § 15, поверхность возникает как компактное пересечение цвух световых конусов в М, система (9.9.13) имеет четыре и только четыре независимых решения. Таким образом, по крайней мере в такой «нормальной ситуации» будет комплексно-четырехмерным векторным пространством. Индекс а тогда является четырехмерным абстрактным индексом, и остаются применимы стандартные правила и обозначения гл. 2, § 2.

Доказательство высказанных утверждений выходит за рамки этой книги. Схема его такова: можно вычислить индекс Атья — Зингера [309, 107] для системы (9.9.13), рассматривая вначале каноническую ситуацию, упомянутую выше, пересечения двух световых конусов в М. Тогда уравнения (9.9.13) расцепляются и мы получаем бой причем величины имеют, соответственно, спиновые веса —1/2, 1/2, и взгляд на формулу (4.15.60) [или предложение (4.15.59)] говорит, что каждое уравнение имеет два независимых решения (всего четыре). Присоединенное уравнение имеет вид системы где имеют соответственно спиновые веса —3/2, 3/2, и обращение к (4.15.60) [или предложению (4.15.59)] указывает, что теперь имеется лишь тривиальное решение. Индекс, будучи разностью числа измерений этих пространств решений, равен причем он инвариантен относительно деформации дифференциальных уравнений. В худшем случае система (9.9.13) может приобрести при некоторых специальных условиях

Дополнительные решения, причем присоединенное уравнение одновременно приобретает пространство решений той же размерности. Это может произойти лишь в исключительных случаях (хотя такие примеры явно были построены Джефрисом).

Теперь вместо того чтобы использовать (9.9.4), мы по определению введем элементы как симметричные тензорные произведения решений системы (9.9.13), т. е.

где при есть решения системы (9.9.13).

Действительно, элемент общего вида пространства уже получится, если сумма (9.9.14) содержит только два слагаемых (т. е. ).

Заметим, что в пространстве М пространство может быть отождествлено со стандартным твисторным пространством. (Если предположить, что поверхность соответствует «нормальной» ситуации, когда пространство четырехмерно.) Действительно, любое решение уравнения (9.9.12) обязательно будет решением системы (9.9.13). Кроме того, с помощью соотношения (5.6.38) можно переписать систему (9.9.13), используя конформно-инвариантные операторы [формула (5.6.34)], и, значит, уравнения (9.9.13) конформно-инвариантны (если приписать полю конформный вес, равный 0, при произвольно выбранных весах для Следовательно, можно отождествить со стандартным пространством и в конформно-плоском . В этих случаях можно аналогичным образом отождествить с и далее продолжить это для всех пространств получаемых из в соответствии со стандартным предписанием (гл. 2, § 2). Но в случае генерических пространства твисторов двумерной поверхности (произвольной валентности), которые мы получаем, представляют собой некоторый совершенно новый объект исследования.