Отношение взаимности твисторов

Из всего сказанного о специальной конгруэнции Робинсона следует, что лучи, соответствующие паре изотропных твисторов

пересекаются (хотя бы на бесконечности, когда X и принадлежат одной изотропной гиперплоскости) в том и только в том случае, если

Это и понятно: требование пересечения эквивалентно требованию, чтобы луч X принадлежал конгруэнции, определяемой твистором и наоборот. Мы также называем (6.2.13) «условием ортогональности» твисторов, или, что более привычно, отношением инцидентности между

Условие пересечения/ортогональности (6.2.13) можно обосновать иначе, замечая, что радиус-вектор произвольной общей точки лучей X и определяется уравнениями [формула (6.2.2)]:

где . Эти уравнения можно решить, перейдя к компонентной форме записи в произвольной диаде. Условием существования единственного (комплексного) решения является требование, чтобы -матрица была несингулярна, т. е. чтобы спинор не был пропорционален спинору . (В случае их пропорциональности лучи X и параллельны и, следовательно, могут иметь общую точку лишь на бесконечности в том смысле, что оба лежат на одной изотропной гиперплоскости.) Прямой подстановкой легко убедиться, что решение системы (6.2.14) имеет вид

в точке О. Но, поскольку выбор начала координат произволен, можно опустить значок в формуле (6.2.14), а следовательно, и в (6.2.15) и рассматривать как радиус-вектор точки относительно точки, в которой вычисляются Но именно условие действительности эквивалентно условию (6.2.13); точнее говоря, оно эквивалентно трем условиям которых первые два считаются выполняющимися). В самом деле, эти условия означают действительность величин а также выполнение соотношения соответственно, из чего следует, что разность имеет нулевые компоненты в спинорном базисе