Поведение спинора

Вернемся к спинорному полю удовлетворяющему твисторному уравнению (6.1.1). Мы можем выбрать контур у в качестве одного из лучей (возможно, специальной) конгруэнции Робинсона, определяемой спинором Воспользовавшись стандартной формой записи соотношений в пространстве относительно начала отсчета О, принадлежащего у, мы получим, как в формуле (6.1.10),

причем

вдоль луча у. Поскольку луч у принадлежит конгруэнции Робинсона, то (положив можно выбрать

и тогда он, очевидно, будет параллельно переноситься вдоль луча у. В таком случае формула (9.4.5) дает

где

суть действительные постоянные. Заметим, что, согласно формуле (6.1.74), величина — это спиральность

твистора На аргандовой плоскости коэффициент пропорциональности из соотношения (9.4.7) при изменении и от до описывает прямую, причем аргумент комплексного уравнения этой прямой возрастает или уменьшается в зависимости от того, отрицательна или положительна спиральность твистора (рис. 9.12,а). Чтобы связать это с геометрией полотнища флага спинора лучше рассмотреть квадрат этого коэффициента, который описывает параболу с фокусом в начале координат (см. рис. 9.12,б). Аргумент этой точки служит прямой мерой поворота полотнища флага спинора (гл. 3, § 2). Из сказанного следует, что предельные направления полотнища флага одни и те же при и при и но знак спинора в формуле (9.4.7) при переходе от одного предела к другому меняется на обратный.

Рис. 9.12. Поворот (на аргандовых пноскостях) направления полотнища флага спинора в случае твнстора с ненулевой спнральностью, когда конгруэнция Робинсона идет в направлении будущего. (Диаграмма б дает более непосредственное представление: направление полотнища флага соответствует направлению движения точки в начале аргандовой плоскости.) Луч направлен к читателю.

Как нетрудно видеть (см., например, рис. 9.12, б), направление вращения полотнища флага противоположно спиральности твистора. Направление же вращения соседних лучей конгруэнции Робинсона относительно луча у, как мы видели в гл. 6, § 2, совпадает со спиральностью. Кроме того, скорость вращения полотнища флага в 2 раза больше скорости соседних лучей. Все это вытекает и из уравнений для спиновых коэффициентов

которые являются прямым следствием соотношения (9.4.5), в чем можно убедиться, выбрав спиновую систему отсчета вдоль луча у с

и вспомнив, что, согласно сказанному в гл. 7, § 1, величина есть мера скорости вращения соседних лучей конгруэнции, а -мера скорости вращения полотнища флага спинора [Несмотря на внешний вид формул (9.4.8), эти скорости вращения не постоянны, поскольку они отвечают масштабу спинора а не Как явствует из формулы (9.4.7), «абсолютные» скорости вращения даются выражениями (9.4.8), деленными на Отметим одно интересное обстоятельство: для любого смежного луча конгруэнции, изопара-метрического лучу полотнище флага спинора в трех (и только трех) местах луча у направлено вдоль вектора смещения, связывающего лучи конгруэнции, что обусловлено занными выше соотношениями между скоростями вращения. (Записанные в обычных обозначениях, не требующих пояснения, уравнения имеют решения Это .следует из соотношения (9.4.1), которое, если его

применить к самому твистору дает

так что при скольжении конгруэнции Робинсона вдоль самой себя полотнища флагов поля ассоциированного с твистором оказываются в исходном положении, когда угол принимает значения (разумеется, следует также принять во внимание и четырехкратную неоднозначность).

Итак, при изменении и от до поле меняет знак по отношению к спинору т. е. по отношению к параллельному переносу вдоль луча . Кроме того, мы видели, что поле, подвергшееся параллельному переносу в пространстве меняет направление на обратное при переходе через случае правовинтовой спиновой структуры спинор в непосредственном прошлом гиперповерхности нужно было бы умножить на чтобы он был равен своему значению в непосредственном будущем гиперповерхности Спинор можно сделать непрерывным на , изменив его «масштаб» в соответствии с преобразованием которое соответствует равенству Дело в том, что это преобразование сохраняет параллельный перенос с формулами (7.1.18) и (5.6.25), которые показывают, что равенство сохраняется, когда Для поля мы имеем одно «лишнее» изменение знака, так что в случае правовинтовой спиновой структуры следовало бы значение спинора в непосредственном прошлом гиперповерхности умножить на чтобы обеспечить непрерывный переход к значению этого поля в непосредственном будущем гиперповерхности

Если бы вместо -твистора мы выбрали -твистор то получили бы поле полотнище флага которого в непосредственном прошлом гиперповерхности нужно было повернуть в том же направлении, что и полотнище флага спинора чтобы обеспечить непрерывный переход к значению в непосредственном будущем гиперповерхности (то же в случае правовинтовой спиновой структуры). Но теперь это означает, что в непосредственном прошлом гиперповерхности У нужно было бы умножить на чтобы переход через не нарушал непрерывности. В случае левовинтовой спиновой структуры множители разумеется, следовало бы поменять местами.