§ 6. Коварианты кривизны

Величины I и образуют совокупность, которая в классической теории инвариантов [114] называется полным набором инвариантов формы Это означает, что всякое скалярное выражение, построенное из спинора Члвсд общего вида с помощью таких четырех тензорных операций, как сложение, тензорное произведение, свертка и замена индексов, можно тождественно представить в виде полиномиальной функции переменных Классическая теория инвариантов имеет дело еще и с «ковариантами», представляющими собой «формы» относительно т. е. выражения вида где симметричный спинор, построенный из спинора с помощью все тех же четырех тензорных операций. В случае более высокой размерности определение «кова-рианта» нуждалось бы в обобщении, включающем в себя помимо какие-нибудь еще дополнительные переменные. Здесь достаточно одной переменной (т. е. полной симметрии), поскольку двумерность спинового пространства гарантирует, что для построения всех спиноров достаточно вполне симметричных спиноров и антисимметричного спинора . «Полный» набор ковариантов формы Р есть такая совокупность независимых переменных, которая позволяет тождественно представить в виде полинома любой другой ковариант формы Р.

Такого рода полный набор ковариантов дается следующим перечнем [114]:

Коэффициентами переменных являются, конечно, выражения

соответственно.

Обозначим через все типы вейлевской кривизны, не менее специальные, чем если прослеживать нарастание специализации вдоль стрелок в схеме (8.1.9). Так, например, тип включает в себя все типы, кроме тогда как тип состоит из типов Интересно, что необходимые и достаточные условия отнесения к типу можно выразить через инварианты и коварианты (8.6.1):

Справедливость первых двух условий следует из утверждений (8.3.28) и (8.3.29) для не менее чем двух и не менее чем трех совпадающих ГГИН соответственно. Требование выполнения равенства очевидно, является тривиальным условием отнесения к типу . Теперь рассмотрим условие Оно эквивалентно требованию

а принимая во внимание формулу (3.5.29), еще и требованию

В частности, оно выполняется, когда — главный спинор спинора Вейля в этом случае откуда в силу соотношения (8.6.5) следует равенство а значит, и равенство которое в силу второго равенства (8.6.4) дает а это [см. предложение (3.5.26)] есть

условие того, что является двукратным главным спинором. Следовательно, всякий главный спинор является кратным, а это имеет место только для типов Но в случае типа выражение не может быть равным нулю [будучи, как легко проверить с помощью канонической формы (8.3.36), равно тогда как в случаях оно, очевидно, равно нулю, чем и доказывается справедливость четвертого утверждения (8.6.3).

Наконец, рассмотрим равенство когда — главный спинор спинора , так что при некотором мы имеем

откуда

где имеет тот же смысл, что и в формуле (8.6.4). Если то путем таких же рассуждений, как и выше, мы приходим к выводу, что — двукратный главный спинор; если же то аналогичный вывод будет следовать из равенства (8.6.6). А значит, как и раньше, спинор Вейля должен относиться к типу или Положив в этом случае мы при некотором получим

(ибо ни один член другого типа сохраниться не может). Однако перестановка множителей оставляя неизменным спинор Тлвсд, меняет знак правой части равенства (8.6.8). Следовательно, чем доказывается справедливость последнего утверждения (8.6.3).

Третье выражение (8.6.2) представляет интерес по другой причине: если не относится к типу то при некотором выполняется равенство

где — собственные спиноры спинора [с соответствующими кратностями в случаях типов см. таблицу (8.3.41)]. Чтобы убедиться в этом, положим

Поскольку — собственный спинор, при некотором X должно выполняться равенство

Следовательно,

откуда при некотором у получим

Согласно формулам (8.6.13), (8.6.11) и (8.6.12), мы имеем

а это равенство показывает, что всякий главный спинор собственного спинора спинора является также и главным спинором левой части равенства (8.6.9), из чего следует справедливость последнего в случае типа {1111}. Оставшиеся два случая получаются в результате предельных переходов ибо, согласно нашему предположению [формула (8.6.3)], левая часть равенства (8.6.9) не может стать равной нулю.

Отметим также, что обращение в нуль третьего выражения (8.6.2) в случае типа является следствием равенства (8.6.9). В этом случае собственные спиноры должны оставаться определенными лишь с точностью до непрерывной группы симметрии, а значит, никакой конкретный набор их нельзя представить в виде правой части равенства (8.6.9). Кроме того, без всяких вычислений ясно, что равенство (8.6.9) выполняется и в общем случае (если только предположить, что входящее в него выражение не является тождественно равным нулю), ибо шести ГИН трех собственных спиноров должен отвечать неупорядоченный набор из шести точек на сфере (между которыми не исключаются совпадения), который определяется неупорядоченным набором точек , , следовательно, инвариантен по отношению ко всем трем поворотам (см. § 5). Это может быть только набор точек