Связь с 4-импульсом Бонди — Сакса

Заметим, что действительный характер интеграла (9.10.19) очевиден, ибо мнимая часть 2-формы (9.10.18) — это ротор Конечно, привычнее вместо вариантов, используемых здесь, иметь дело в интегралах (9.10.19) и (9.10.20) с действительной частью 2-формы Причина, по которой мы предпочитаем первые — это, помимо их большей простоты, еще и более непосредственная связь с выражениями из § 9, в особенности с выражением (9.9.29).

Чтобы убедиться в этом и получить необходимую связь с 4-импульсом Бонди — Сакса, вспомним, что в § 9 мы получили изотропную компоненту 4-импульса измеренную на срезе гиперповерхности выбрав твистор а затем подставив в (9.9.19) вместо и твисторы и соответственно. Сейчас наш план заключается в том, чтобы считать из (9.10.18) проекционной частью твистора а (или из (9.10.18) — (взятой со знаком минус) главной частью твистора Для упрощения полученной картины будем писать вместо и вместо в выражении (9.10.18). Интегрируя 2-форму В на пространственноподобный 2-поверхности (которую пока будем считать конечной поверхностью), выполняя указанную замену символов и привлекая формулы (4.14.52), (4.14.53) и (4.14.66), мы, согласно (4.12.28), получаем

где принято обозначение (9.9.23) (с тильдами). Отметим, что, [если не считать множителя ] это выражение формально тождественно форме Тода (9.9.29) для квазилокального -импульса» (9.9.28). Когда , уходя, становится срезом гиперповерхности это соответствие становится точным, но при условии, что спинор соответствующим образом стремится на бесконечности к постоянному значению. Для этого нужно, чтобы конформно-преобразованный спинор [при выборе

стандартного твисторного масштаба соответствующего формуле (6.1.2)] удовлетворял уравнениям для твистора двумерной поверхности (9.9.36) на в частном случае уравнения (9.9.41), соответствующем элементам пространства а именно:

Здесь величины со «шляпками» относятся к нефизической метрике, конечной на так что вместо (9.9.32) мы снова придерживаемся формул (5.6.1) и (5.6.2):

Сказанное фактически доказывает, что левая часть соотношения (9.10.19) действительно стремится к его правой части, когда становится срезом гиперповерхности если — это охарактеризованный в § 9 и ранее в этом параграфе 4-импульс Бонди — Сакса. В более строгом анализе следовало бы уделить несколько больше внимания предельному поведению, спинора но мы здесь не будем входить в детали. (Соответствующий анализ в приложении к пространственноподобной бесконечности в рамках которого достигнуто согласие с определением массы по Арновиту — Дезеру — Мизнеру, можно найти в работах [310, 311].