Описание в пространстве Р5

Существует еще один способ построения пространства и конформной группы его движений. Рассмотрим шестимерное псевдоевклидово пространство с координатами Т, и метрикой

Световой конус с вершиной в начальной точке описывается уравнением

С учетом уравнения изотропной -плоскости

из выражения (9.2.4) следует, что пересечение такой -плоскости с конусом обладает индуцированной метрикой типа метрики Минковского

Для этого пересечения достаточно координат и область изменения которых не ограничена; стало быть, данное пересечение, взятое само по себе, тождественно пространству Минковского М, и мы его так и будем обозначать. Но как подпространство пространства пространство М имеет вид «параболоида» (рис. 9.6), причем остальные координаты выражаются через и следующим образом:

Всякая образующая конуса [представляющая собой множество точек, для которых остаются постоянными отношения и выполняется уравнение (9.2.5)], не лежащая на изотропной гиперплоскости пересекает

Рис. 9.6. Конус с сигнатурой в пространстве Пространство Минковского М представлено как параболическое сечение конуса а компактифицированное пространство — как пространство образующих конуса

параболоид (VI в единственной точке. Образующим конуса лежащим на гиперплоскости соответствуют точки, принадлежащие бесконечности пространства М. Прямым, проходящим через начало пространства соответствуют точки проективного -пространства координатами которого служат пять независимых отношений Образующими конуса определяются точки квадрики (т. е. многообразия, задаваемого равенством нулю квадратичной формы) в уравнение которой имеет вид (9.2.5) и которая отождествляется с М (рис. 9.7). Точки этой квадрики, не лежащие на гиперплоскости соответствуют точкам пространства М. Но теперь появляются еще и точки пространства лежащие на гиперплоскости и обеспечивающие требуемую компактификацию М. (Пространство является компактным, будучи алгебраическим подмножеством проективного пространства.)

Мы не будем вдаваться в подробности рассматриваемой геометрической структуры. Остановимся лишь на некоторых моментах. Прежде всего отметим, что обладает всюду хорошо определенной конформной геометрической структурой. Это следует, например, из того, что две любые (локальные) гиперповерхности (являющиеся поперечными сечениями конуса ), пересекающие одни и те же образующие конуса конформно

Рис. 9.7. Пространство можно представить в пространстве в виде квадрики. Касательная гиперплоскость, построенная в точке I, пересекается с этой квадрикой по гиперповерхности .

отображаются ими друг на друга. Данное утверждение можно доказать, либо проведя такие же рассуждения, как в гл. 1 (т. 1, с. 59, рис. 1.11), либо показав, что метрику конуса локально можно привести к виду

образующие можно задать уравнениями , а поперечные сечения — зависимостью от При такой форме метрики два вышеуказанных поперечных сечения несомненно будут конформно отображаться друг на друга. А чтобы привести метрику к требуемой форме, можно выбрать в качестве координаты любую переменную, скажем и переписать выражение (9.2.4) [с учетом уравнения (9.2.5)] в виде

Затем [еще раз воспользовавшись уравнением (9.2.5)] нужно исключить одну из переменных выразив ее через остальные.

Итак, пространство образующих конуса приобретает конформную структуру (как это уже имело место в случае светового конуса с вершиной в начале координат пространства Минковского в гл. 1 и гл. 4, § 15), т. е. пространство как подпространство пространства имеет канонически определенную конформную структуру с сигнатурой Световые конусы этой конформной структуры оказываются пересечениями пространства М с проективными 4-плоскостями, касаюшимися

пространства М. Эти 4-плоскости пересекаются с М по конусам квадрик, образованным прямыми из Проективными прямыми в (прямыми по отношению к проективной пространственной структуре пространства представляются световые лучи в М. Одна из 4-плоскостей, удовлетворяющая уравнению тоже касается пространства М — в точке Это не что иное, как точка (отождествленные точки фигурировавшие выше при построении компактифицированного пространства Минковского), а остальная часть пересечения данной 4-плоскости с М — это (отождественные поверхности в том же построении).