Тип спинора по Плебаньскому

Единственное, что в таблице (8.8.25) осталось совершенно без внимания — это типы спиноров по Плебаньскому [276]. В формуле (8.7.1) был введен симметричный спинор

Таблица (8.8.26) (см. скан)

такой, что

Метод Плебаньского заключается в применении классификации стандартного спинора Вейля к спинору с целью ее дальнейшего использования в качестве классификационной схемы для Рассмотрим прежде всего взаимосвязь между кривыми и , представляющими спиноры и на

Из уравнения (8.8.24) следует, что если -главный спинор спинора то [см. текст после формулы (3.5.29)] для некоторого имеем

Но тогда

а это, согласно формуле (8.7.29), есть условие того, что -образующая, определяемая спинором касается кривой со в точке Так как это применимо ко всякому главному спинору спинора мы приходим к выводу, что кривая состоит из четырех -образующих, которые касаются кривой Схему совпадений для этих образующих теперь довольно просто получить, проанализировав структуру особенностей кривой со. По-прежнему следует иметь в виду, что «касание» нужно интерпретировать как совпадение точек пересечения, так что S-o6paзующая, проходящая через какую-либо кратную точку кривой , считается касающейся этой кривой. Исследуя появление кратных точек в предельных случаях, можно показать, что каждая -образующая, проходящая через кратную точку кривой , для должна считаться как минимум двойной. Точную кратность можно установить в каждом отдельном случае только после подробного анализа рассматриваемого предела. Результаты такого рода анализа представлены в таблице (8.8.25).

Отметим, что в некоторых случаях схема Плебаньского не позволяет полностью различить все возможные типы спинора Наиболее отчетливо это проявляется в трех последних случаях таблицы (8.8.25), ибо во всех

Двойное отношение четырех ГИН спинора представляет особый интерес, так как в общем случае (-кривой не имеющей особенностей, им определяется характеристика, называемая модулем эллиптической кривой и. (Слово «эллиптическая» здесь означает, что кривая со может быть аналитически параметризована с помощью эллиптических функций, но не рациональных функций. Этот модуль относится к так называемым бирациональным инвариантам кривой со, ибо остается неизменным при любом аналитическом «почти всюду преобразовании вида кривой ) (Более полно эти вопросы рассматриваются, например, в работе [356].)

Чтобы выразить указанное двойное отношение через собственные значения тензора в общем случае, можно (если все собственные значения действительны и различны) сначала выразить через эти собственные значения и стандартную тетраду Минковского (3.1.20) (построенную из собственных векторов и сам тензор

[т. е. матрица ]. В другой генерической ситуации необходимы комплексные векторы и комплексные собственные значения, но мы можем ввести комплексные комбинации векторов и и написать

где действительные величины, а причем Использованы стандартные соотношения (3.1.20) между спинорной диадой и тетрадой Минковского. Если применить соотношения (3.1.20) к выражению (8.8.29), то можно сразу же вычислитьспинор и получить для него выражение в стандартной канонической форме (8.3.34), где

Формула же (8.8.30) дает для выражение, которое лишь несущественно отличается от стандартной канонической формы [и которое сводится к ней при так что мы опять приходим к тем же значениям для что и в формуле (8.8.31)].

Интересно, что двойное отношение ГИН для спинора одновременно является двойным отношением четырех собственных значений тензора Следовательно, в случае, когда имеет действительную тетраду собственных векторов, это двойное отношение должно быть действительным. В противоположном случае, поскольку величины X действительны, величина удовлетворяет условиям Напомним, что, согласно изложенному в § 6, эти четыре возможности представляют собой как раз те случаи, в которых ГИН (спинора обладают симметриями отражения. И наконец, исходя из равенства можно показать, что три собственных значения спинора таковы:

где