Твисторное описание

Взаимосвязь между десятью стандартными сохраняющимися величинами пуанкаре-инвариантных теорий и пятнадцатью сохраняющимися величинами конформно-инвариантных теорий в пространстве Минковского весьма элегантно выявляется при твисторном подходе. Мы уже видели [формула (6.5.5)], что каждое из 15 линейно-независимых решений конформного уравнения Киллинга (6.5.1) может играть роль главной части эрмитова -твистора и однозначно определяет его бесследовую часть. Твисторы которые получаются из векторов Киллинга, образуют действительно-десятимерное подпространство в . В то же время в формуле (6.3.11) было показано, что десять компонент энергии-импульса и углового момента системы могут быть собраны в единый симметричный твистор который можно выразить через эрмитов твистор по формуле (6.3.13). (Кроме того, след твистора не дает вклада в . Таким образом, путем отображения (6.3.13) мы извлекаем из набора 15 конформных величин, входящих в всю информацию о 10 компонентах энергии-импульса и момента импульса.

Естественно предположить, что между двумя процедурами редукции 15 конформных величин к 10 пуанкаре-величинам существует некоторая связь. Это действительно так. Но эта связь не совсем прямая и включает переход от исходного пространства

твисторов к дуальному пространству. Действительно, переход от произвольного бесследового твистора к твистору, который определяется произвольным (а не только конформным) вектором Киллинга, есть замена исходного пространства его линейным подпространством. В то же время отображение (6.3.13), переводящее есть проекция, отображающая пространство твисторов на факторпространство. Подпространства и факторпространства — это дуальные структуры.

Чтобы увидеть, почему нужны дуальные пространства, выясним физический смысл величины и вектора Киллинга. Фиксированный твистор описывает полную структуру 4-импульса и момента импульса некоторой конкретной физической системы, скажем бильярдного шара, тогда как фиксированный вектор Киллинга относится к одной компоненте этой структуры, скажем к энергии, но в случае произвольной физической системы. Если мы связываем одно с другим, например спрашиваем какова энергия бильярдного шара, то получаем действительную величину. Она получается как соответствующее скалярное произведение (над полем действительных х чисел) твистора, представляющего вектор Киллинга, на твистор, представляющий

4-импульс и момент импульса данной физической системы, поскольку оно -линейно и по тому, и по другому. Аналогично можно рассмотреть конкретную конформно-инвариантную физическую систему (например, свободное электромагнитное поле), сохраняющиеся конформные величины которой описываются эрмитовым твистором Тогда, если задан конформный вектор Киллинга который будет теперь главной частью бесследового эрмитова твистора можно построить сохраняющуюся величину, отвечающую вектору как некоторое -билинейное «скалярное произведение» твисторов Условие конформной инвариантности означает, что этот твистор должен быть скаляром (не содержащим или следовательно, он должен быть пропорционален свертке

Это — действительная величина в силу эрмитовости сомножителей . Она не изменится, если к одному из твисторов (но не к обоим) добавить величину, пропорциональную следу

В частном случае, когда векторы оказываются векторами Киллинга, твисторы приводятся к особому виду, при котором лишь часть компонент твистора определяется скалярными произведениями типа (6.5.13). Эти компоненты суть как

раз те сохраняющиеся величины, которые характеризуют произвольную (а не всего лишь конформную) пуанкаре-систему, а именно тензоры энергии-импульса и момента импульса, т. е. десять независимых действительных компонент величины определенной в формуле (6.3.13);

При переходе к выпадают те компоненты твистора которые непригодны для описания произвольной пуанкаре-системы. Хорошо определенными в этом смысле будут лишь сохраняющиеся величины, явная зависимость которых, скажем, от времени несущественна. Пуанкаре-системой определяется твистор но не

Сравнив (6.5.14) и (6.5.13), можно предположить, что при заданном векторе Киллинга твистор должен приводиться к виду где или, точнее, к виду

поскольку твистор должен быть эрмитовым. Условие равенства нулю следа вытекает из симметрии твистора поскольку твистор кососимметричен. Подставляя разложение (6.5.15) в свертку (6.5.13), находим, используя представление (6.5.14):

Таким образом, свертку можно переписать непосредственно в виде скалярного произведения твисторов билинейного над полем действительных чисел.

Чтобы доказать, что твистор действительно можно представить в виде (6.5.15), используя вектор Киллинга заметим, что дополнительное условие для вытекающее из (6.5.8), имеет вид

Используя обозначения, введенные в формуле (6.1.54), получаем из (6.1.56)

Мы полагаем, что след твистора равен нулю:

Следовательно, он полностью определяется своей главной частью Тогда и из второго соотношения

(6.1.56) и условия (6.1.68) находим

Из этих уравнений следует, что

Анализируя выражения (6.5.15) и (6.5.19) с использованием спинорных частей, взятых в произвольной точке О, легко показать, что в силу равенства (6.5.19) твистор действительно можно выразить через твистор с помощью соотношения (6.5.15), как утверждалось выше.

Таким образом, для описания вектора Киллинга можно пользоваться твистором вместо . В некоторых случаях это оказывается более удобным. Дело в том, что твистор должен удовлетворять дополнительному условию (6.5.19), тогда как твистор определен неоднозначно, с точностью до «калибровочного преобразования» вида

где — произвольный эрмитов твистор: