Обобщенная теорема Голдберга — Сакса

Теперь перейдем к другому важному результату, относящемуся к БСК, а именно к теореме Голдберга — Сакса [113]. Мы представим ее обобщенную формулировку [175, 295] (доказательство дано Соммерсом):

Предложение

Три условия:

Замечание. В первоначальной формулировке теоремы Голдберга — Сакса утверждалось, что всюду неплоская вакуумная

метрика допускает кратные в том и только в том случае, если есть БСК. Очевидно, что это частный случай теоремы (7.3.35), поскольку условие III при есть следствие вакуумного тождества Бианки

Доказательство. Для определенности положим Переписывая условие I в виде затем дифференцируя обе части этого равенства и, наконец, используя представление (где ни ни не пропорциональны для имеем

где отличный от нуля скаляр. Из (7.3.1) теперь ясно, что , а также I и При доказательство вполне аналогично.

Чтобы доказать соотношение II и III заметим, что вследствие утверждения (7.3.2) поле есть а отсюда следует равенство при некотором Наша цель — показать, что Вычисление производной дает

Если выполнено условие III (при то первое слагаемое в левой части равно нулю. Чтобы преобразовать второе слагаемое, положим Тогда оно запишется в виде

что в силу равенств (7.3.24) и (7.3.31) эквивалентно выражению

Последнее слагаемое в (7.3.36) упрощается с помощью уравнения (7.3.32). Таким образом, равенство (7.3.36) при можно переписать в виде

Чтобы проверить, существует ли решение этого уравнения относительно подставим его правую часть в условия интегрируемости леммы (7.3.20) вместо Это дает

что с помощью тождеств (7.3.27) и (7.3.28) сразу же преобразуется к виду Отсюда следует, что а это противоречит исходному предположению, чем и доказывается требуемое утверждение.

Мы приведем еще альтернативное, прямое доказательство теоремы Голдберга — Сакса, в котором используется модифицированный формализм спиновых коэффициентов, изложенный в гл. 4, § 12. (Основная идея этого доказательства была предложена в работе Для простоты мы будем доказывать теорему в ее первоначальной формулировке, хотя аналогичные рассуждения справедливы и для обобщенной теоремы. Итак, требуется доказать, что если выполняются вакуумные тождества Бианки, то Предположим, что выполнено условие I при т. е. [формула (4.11.6)] Вспоминая, что в вакууме из тождеств Бианки (4.12.36) находим, что а из формулы (4.12.39) следует, что т. е. условие II. Аналогично, если из (4.12.37) и (4.12.38) соответственно находим Наконец, при т. е. при аналогичную роль играют уравнения (4.12.38) и (4.12.37) соответственно.

Пусть теперь выполнено условие II, т. е. Из (7.3.2) видим, что в этом случае Поэтому требуется показать, что Опустим тривиальный случай в открытой области; в этом случае (4.12.32д) сразу получаем требуемое условие Если всюду в открытой области (на границу области рассматриваемые соотношения продолжаются по непрерывности), то можно выполнить преобразование При этом и а остаются неизменными, но индуцируется преобразование с помощью которого можно добиться равенства Предположим теперь, что Тогда уравнение (4.12.36) дает

а из (4.12.39) находим

Вычисляя смешанные производные и образуя разность полученных уравнений, получаем

где использованы уравнения (7.3.40), (4.12.32г). Выражение для этой же смешанной производной можно найти из (4.12.34),

используя уравнения (7.3.39) и (7.3.40):

где также учтено, что есть величина типа [формула (4.12.25)]. Сравнивая эти два выражения, получаем или . В то же время из (4.12.32в) следует равенство что и требовалось доказать.

Теорема Голдберга — Сакса в ее первоначальной формулировке применима не только к вакуумной, но и к любой другой метрике, которая конформна вакуумной. Действительно, при конформном преобразовании условие сохраняется, а вместе с ним сохраняются условие изотропности и бессдвиго-вость конгруэнции. Поскольку же не изменяется спинор Вейля, не изменяются и ГИН, а следовательно, справедливо наше утверждение.

Конформные изменения масштаба не влияют на условия I и II теоремы Голдберга — Сакса. Поведение условия III при конформных преобразованиях можно определить из соотношения

которое следует из (5.6.15). Оно показывает, что условие III конформно-инвариантно в том и только в том случае, если выполнено условие I.

Приведем интересное следствие обобщенной теоремы Голдберга — Сакса, которое было доказано Робинсоном и Шильдом [295].

Предложение

Гравитационное поле, создаваемое полем Максвелла с бессдвиговыми лучами, является алгебраически специальным. (7.3.43)

Поле Максвелла называется полем Максвелла с бессдвиговыми лучами, если по крайней мере одно из его ГИН [формула (5.1.39)] образует Из предложения (7.3.9) следует, что все электромагнитные изотропные поля являются полями с бессдвиговыми лучами. Отметим, что и неизотропные поля могут обладать этим свойством; пример — поле Райсснера — Нордстрема («заряженное шварцшильдовское»). Отметим также, что предложение (7.3.43) нельзя рассматривать как частный случай предложения (7.3.13) для изотропных полей, поскольку (7.3.13) относится к пробным полям, т. е. к таким, которые не входят в источник гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна. Для доказательства предложения (7.3.43) достаточно заметить, что

условие III в (7.3.35) при выполняется вследствие эйнштейн-максвелловских тождеств Бианки (5.2.7), представления и условия (7.3.1) для