§ 7. Классификационная схема для спиноров с любым числом индексов

В предыдущих параграфах довольно подробно рассматривалась структура тензора (спинора) Вейля. В этом и следующем параграфах мы займемся оставшейся частью кривизны пространства-времени, а именно тензором Риччи (не останавливаясь, однако, на его связи со структурой тензора Вейля). На первый взгляд может показаться, что классификация тензора Риччи должна быть менее сложной задачей, нежели классификация тензора Вейля, поскольку всего два тензорных индекса, а их четыре. Число его индексов вроде бы позволяет трактовать тензор Риччи непосредственно как матрицу и классифицировать его в рамках (не представляющей принципиальных трудностей) схемы совпадений собственных значений и собственных векторов этой матрицы. Но (в первую очередь из-за индефинитной сигнатуры метрики пространства-времени) такой подход оказывается не столь простым и прозрачным, как хотелось бы [56].

Поэтому мы изберем альтернативный подход, основанный на спинорной технике. Но, поскольку спинорная форма записи тензора требует введения штрихованных индексов наряду с нештрихованными, спинорный подход не приводит к столь же простой классификации, как в случае спинора (тензора) Вейля. По-видимому, не следует считать это дефектом спинорной техники в приложении к симметричным двухиндексным тензорам. Просто спинорный формализм выявляет здесь принципиальные сложности, связанные с такими тензорами, которые, вероятно, удивительным образом отсутствуют в случае выглядящего намного сложнее четырехиндексного тензора Вейля.

Метод, излагаемый (в общих чертах) в данном параграфе, применим к тензорам или спинорам с любым числом индексов. В следующем параграфе мы, не вникая в детали (более полный анализ см. в работе применим его в частном случае (бесследового) спинора Риччи Кроме того, мы укажем связь этого метода с собственными векторами и

собственными значениями тензора . И еще мы покажем, как наш метод связан с альтернативным подходом Плебаньского [276] (сравнение с матричной и спинорной формулировками проводится в работе [198]), при котором спинор

классифицируется в соответствии со схемой, предложенной нами ранее для спинора Вейля и позволяющей охарактеризовать сам спинор

Комплексная функция и геометрическое место точек

Общую идею нашего метода можно рассматривать как естественное развитие идеи процедуры канонического разложения (3.5.18) симметричного спинора Соответствующая процедура в случае симметричного (т. е. симметричного по каждому набору в отдельности; иначе говоря, точечнонеприводимого) спинора общего вида должна основываться на анализе выражения

Если бы спинор оказался несимметричным, то сначала нужно было бы выделить в явной форме его симметричные части, а уже затем классифицировать каждую такую часть в отдельности. (Правда, такой подход сам по себе еще не дал бы полной классификации несимметричного спинора , так как, помимо прочего, следовало бы рассмотреть и взаимосвязь между его различными частями.) Один из объектов, который нас будет интересовать в особенности, — это множество спиноров удовлетворяющих требованию

Такое множество дает (с точностью до коэффициента пропорциональности) структуру спинора Если ввести изотропный вектор

то станет ясно, что равенство (8.7.3) есть уравнение локуса (чуть ниже мы определим и комплексный локус т. е. геометрического места точек на сфере которые с точностью до коэффициента пропорциональности представляют на этой сфере изотропные векторы Но действительный локус не так уж много может сказать о характерных свойствах спинора (Возьмем, например, случай, когда времениподобный ковектор. Очевидно, что для таких ковекторов геометрическое место точек оказывается вообще пустым.) Это

вынуждает нас рассматривать комплексные векторы [формула

считающиеся эквивалентными, если они различаются лишь отличным от нуля комплексным множителем. Такие векторы можно считать точками комплексификации сферы

где — сфера спиноров (с точностью до комплексного коэффициента пропорциональности), сфера спиноров (взятых с точностью до коэффициента пропорциональности). В результате мы приходим к локусу комплексных точек на (т. е. точек комплексификаций определяемому требованием обращения в нуль выражения

Поскольку теперь независимы, двукратным применением утверждения (3.3.23) доказывается, что спинор и в самом деле полностью определяется локусом с точностью до коэффициента пропорциональности.