Инварианты полной кривизны

Мы закончим параграф короткими замечаниями по поводу инвариантов полной кривизны и несколько более подробными по поводу инвариантов объединенной системы спиноров, описывающей гравитационное и электромагнитное поля. Эти, последние инвариантны, если потребовать выполнения уравнений Эйнштейна — Максвелла, приводят непосредственно к инвариантам полной кривизны. Мы отметим ряд трудностей, связанных с построением полной системы инвариантов в общем случае.

Если заранее не требовать выполнения вакуумных уравнений поля, то в общем случае следует рассматривать все характеристики кривизны

вместе. Вопрос об общей классификации спинора Рассмотрен в двух следующих параграфах (и это достаточно

сложная проблема). Но изложенного там будет недостаточно для классификации полной римановой кривизны, поскольку необходимо рассмотреть еще и взаимосвязи между структурами спиноров и

Число инвариантов тензора можно установить, пользуясь правилом (8.5.16). Пространство тензоров -мерно (по числу независимых компонент), и у таких тензоров отсутствует группа непрерывной симметрии (как она, вообще говоря, отсутствует и у тензора Вейля). Следовательно, имеется инвариантов некоторого рода, но все это ничего не говорит о том, как эти инварианты можно было бы построить. В принципе не составляет особого труда образовать различные комбинации тензоров кривизны или спиноров кривизны и отобрать из них 14 независимых инвариантов [372]. Но проблема построения «полного набора» значительно сложнее (и, насколько нам известно, до сих пор не решена). Ибо можно полагать, что нам потребуется избыточная система, элементы которой связаны между собой рядом соотношений, называемых сизигиями. Мы не ставим перед собой задачу проанализировать самый общий случай, но лишь отметим, что такого рода сложности присутствуют даже в гораздо более простой проблеме одновременной классификации гравитационного и электромагнитного полей.