Комплексная структура и КД-структура

К сожалению, инвариантной контактной структуры пространства далеко не достаточно, чтобы ввести комплексную структуру, необходимую для формулировки аналога теоремы Керра (7.4.14) в искривленном пространстве. Нам потребуется комплексная структура на некотором действительно-восьмимерном подпространстве чтобы определить, какие из функций на (открытом подмножестве множества) следует рассматривать как голоморфные функции (или их ограничения). [По существу нам требуется определить понятие «голоморфной координаты», аналогичной величинам в формуле (7.4.8) или в формуле (7.4.11). Из теоремы (7.4.14) мы видим, что имеется очень тесная связь между понятиями «бессдвиговости» лучей в и голоморфности Это говорит о том, что мы встретимся с трудностями, если попытаемся обобщить наше определение комплексной структуры на

произвольное пространство-время и использовать его для лучей в целом, безотносительно к выбору выделенных точек на каждом луче. Второе из уравнений Сакса (7.2.12) означает, что если условие не выполняется вдоль луча то условие «бессдвиговости» в заданной точке не будет справедливым для других точек (не «переносится» в другие точки). Это условие будет выполняться для всего луча только в том случае, когда конформно-плоское пространство-время.

Чтобы обойти эту трудность, мы будем искать лишь такую комплексную структуру, которая зависит от выбора гиперповерхности . В этом случае понятие «бессдвиговости» достаточно определить только на пересечении лучей с Наиболее простой вид эта конструкция приобретает, когда гиперповерхность выбрана пространственноподобной, и наше изложение в основном будет ориентировано на этот случай. Тем не менее гиперповерхность может быть и времениподобной, и изотропной (с некоторыми оговорками). Изотропный случай представляет интерес, когда гиперповерхность удалена на бесконечность, так что она совпадает с одной из гиперповерхностей определяемых в гл. 9, § 6 для асимптотически плоского пространства . В этом случае наша конструкция приводит к пространству асимптотических твисторов которое мы кратко рассмотрим в конце гл. 9, § 8.

Прежде чем подробно разбирать эту конструкцию, уточним, какого рода «комплексную структуру» мы хотим получить. Напомним, что в теореме Керра (7.4.14) нас интересовали ограничения на функций, голоморфных в некоторой области пространства Та, т. е. фактически (поскольку рассматриваемые функции были также однородными) ограничения на функций, голоморфных в пространстве РТа- Именно действительнонечетномерные пространства а не действительно-чет-номерные комплексные пространства и РТа могут быть прямо интерпретированы как лучи в М, и эти же действительнонечетномерные пространства допускают дальнейшие обобщения на случай искривленного пространства переходя в соответственно. Таким образом, в первую очередь нас будет интересовать не сама комплексная структура объемлющего комплексного (обязательно действительно-четномерного) многообразия, а ее ограничение на (действительно-нечетномерную) гиперповерхность. Ограничение комплексной структуры на действительную гиперповерхность называется реализуемой КД-структурой

[95, 226, 261]. Нам потребуется более детальное знакомство с некоторыми из ее геометрических свойств.

Посмотрим сначала, каким образом можно характеризовать действительное -мерное многообразие как -мерное комплексное многообразие с действительными величинами. Одно из основных геометрических свойств, которым должно обладать многообразие — возможность выделить комплексные касательные векторы. С точки зрения действительных чисел вектор можно рассматривать как пару действительных касательных векторов: его «действительной части» х и «мнимой части» у:

Преобразованию комплексного вектора

соответствуют преобразования действительных векторов

В частности, когда

имеем

Отображение (7.4.44) обычно обозначают буквой

и называют комплексной структурой на Оператор действующий в (действительном) -мерном пространстве, касательном к является действительно-линейным и удовлетворяет условию

что явствует из (7.4.45). Тогда комплексные векторы, касательные к однозначно записываются в виде

где — действительный вектор, касательный к (и, следовательно, при заданном отображении мы имеем взаимно-однозначное соответствие между действительными и комплексными касательными векторами).

Однако свойство (7.4.46) оказывается недостаточным для того, чтобы охарактеризовать как комплексное многообразие, оно означает только, что — почти комплексное многообразие. Чтобы получить комплексное многообразие, дополнительно

требуется наложить на оператор условие интегрируемости. Приведем одну из возможных формулировок этого дополнительного требования:

Скобка Ли любых двух гладких полей комплексных касательных векторов есть тоже комплексный касательный вектор.

Здесь термин «гладкое поле» понимается в смысле действительных функций и не включает условия голоморфности. В общем случае произвольного почти комплексного многообразия скобка Ли может давать комплексно-сопряженные касательные векторы, которые имеют вид

в отличие от (7.4.47).

Согласно теореме, доказанной Ньюлендером и Ниренбергом [214], на всяком комплексном (в указанном смысле) многообразии всегда существуют локальные комплексные координаты такие, что комплексные касательные векторы в любой точке могут быть представлены как комплексно-линейные комбинации векторов

в этой точке. Такие координаты называются голоморфными координатами в . С их помощью можно ввести понятие голоморфной функции в открытых областях как голоморфной (комплексно-аналитической) функции этих координат. Голоморфными на будут те комплексные функции которые удовлетворяют условию для всякого комплексно-сопряженного касательного вектора [см. также предложение (4.14.25), т. 1].

Указанное понятие требуется, очевидно, чтобы определить аналог голоморфных функций в искривленном пространстве, который существенным образом используется в теореме Керра. Но для их интерпретации, основанной на геометрии лучей, нам дополнительно потребуется разобраться в геометрической структуре, ассоциированной с ограничением комплексной структуры на определенного вида действительную гиперповерхность в

Касательное пространство в каждой точке такой гиперповерхности 36 будет -мерным. Оно содержит действительно--мерное подпространство называемое голоморфным касательным пространством, которое является

инвариантом отображения , следовательно, имеет структуру комплексного -мерного векторного пространства. Базис образован комплексными векторами действительными и мнимыми частями). Чтобы получить базис в требуется еще один действительный вектор и в (отображение в не переводит и в вектор, касательный к гиперповерхности

Следовательно, само многообразие обладает внутренней структурой, определяемой оператором который по-прежнему удовлетворяет условию (7.4.46), но теперь определен (действительно-линейно) только на каждом подпространстве Условие интегрируемости (7.4.48) сохраняется, однако комплексные касательные векторы обязательно принадлежат подпространствам Многообразие вместе с такой «интегрируемой» структурой называют -многообразием (комплексно-действительным).

Если многообразие и оператор действительно-аналитичны, то можно показать, что пространство вложения локально будет комплексным -мерным многообразием, комплексная структура которого индуцирует заданное отображение I на Голоморфные функции на переходят в объекты, которые называют КД-функциями на (комплексно-сопряженные касательные векторы принимают на этих функциях нулевые значения). Без дополнительного условия аналитичности вопрос о существовании такого многообразия вложения (или КД-функций) для заданного КД-многообразия оказывается довольно тонким. Если пространство вложения существует, то мы говорим, что КД-многообразие реализуемо (или допускает вложение). Нереализуемые КД-многообразия встречаются при некоторых условиях [227, 152, 261] и даже могут возникать в интересующих нас случаях [181], если отсутствует упомянутое требование аналитичности.