§ 8. Группа БМС и структура гиперповерхности J+

Пространство-время Минковского М и рассмотренные в § 5 космологические модели допускают группы изометрий, представляющие значительный практический интерес. Правда, группа изометрий на произвольном пространстве-времени - это просто тождественное преобразование, так что ее наличие не дает никакой существенной информации. Но группы симметрий имеют большое значение в физике; в частности, группа Пуанкаре, описывающая изометрии пространства М, играет важную роль в стандартных определениях энергии-импульса и момента импульса. Уже одно это может служить основанием для поисков обобщения концепции группы изометрии, пригодного в искривленных пространствах-временах с теми или иными отклонениями от регулярности.

В случае произвольного пространства-времени вместо группы Пуанкаре по историческим причинам часто рассматривают группу (или псевдогруппу), называемую «общей координатной группой» (или, что эквивалентно, «группой диффеоморфизмов»). Однако в данном контексте она практически бесполезна, ибо слишком «велика» и сохраняет лишь дифференцируемую структуру пространства а не те или иные важные физические свойства этого пространства. Значительно больший интерес представляет концепция группы асимптотической симметрии. Она применима в любом пространстве-времени которое на бесконечности соответствующим образом стремится либо к пространству-времени Минковского М, либо к подходящей космологической модели Фридмана — Робертсона — Уокера.

Суть этой концепции заключается в том, что, присоединив к подходящую конформную границу или либо всю границу мы можем получить такого рода асимптотические симметрии в виде конформных движений границы, поскольку наличие нужной нам группы симметрий у границы более вероятно, чем у самого пространства . (Любая изометрия пространства проявляется, очевидно, как конформное движение границы, но конформные движения границы не обязательно должно продолжаться в каким-либо имеющим определенный смысл образом.)

Параметры Бонди

Мы будем рассматривать лишь подходящие нам асимптоти-чески-плоские пространства Возьмем пространство с 3-асимптотической простотой будущего (см. § 6) и с изотропной гиперповерхностью и пусть на нем выполняется сильное асимптотическое эйнштейновское условие [формула (9.6.21) вместе со слабым равенством а также следующее условие [103]: образующие гиперповерхности имеют бесконечную протяженность. [Это дополнительное условие в данной главе уже упоминалось после определения Дадим следующие определения.

Определение

Образующая у гиперповерхности называется бесконечно протяженной, если параметр Бонди на у принимает на у все значения в интервале

Определение

Увеличивающийся в направлении будущего действительный параметр ”и” на образующей у гиперповерхности называется параметром Бонди, если в случае вектора , касательного к образующим гиперповерхности выполняется уравнение

записанное в компактных обозначениях для спиновых коэффициентов (т. 1, гл. 4, § 5, 12).

Параметр и имеет тип так что величина имеет тип вследствие чего [с учетом формулы (4.12.15)] уравнение в определении (9.8.2) означает, что

Если к тому же потребовать, чтобы параметр и имел конформный вес, равный нулю, то, воспользовавшись обозначениями из

(5.6.33), уравнение из определения (9.8.2) можно будет переписать в виде

Уравнение (9.8.4) явно конформно-инвариантно [формула (5.6.34)], на основании чего можно утверждать, что определение параметра Бонди не связано с конформным множителем (и, разумеется, с выбором масштаба для вектора ). Если выбрать такой множитель чтобы выполнялось условие [см. текст после формулы (9.6.31)] и такой масштаб вектора па, чтобы он параллельно переносился вдоль луча 7, то уравнение (9.8.3) можно будет привести к виду

откуда со всей очевидностью следует, что различные параметры Бонди на у связаны друг с другом соотношением

где — действительные постоянные и

Подчеркнем, что при обсуждении определения (9.8.2) мы опустили «шляпки» над величинами, определенными на Мы будем поступать так и в дальнейшем, поскольку большая часть расчетов будет связана с величинами, определенными на гиперповерхности Так, в частности (и в противоположность обозначениям двух предыдущих параграфов) будет обозначать «нефизическую» регулярную на метрику, конформную физической метрике. Если же случится иметь дело с величинами, относящимися к «физическому» пространству-времени, то мы будем отмечать их тильдой сверху. Итак, конформное изменение масштаба теперь будет выглядеть следующим образом;

Материал этого и следующего параграфов изложен в применении к гиперповерхности Но совершенно очевидно, что все полученные в них результаты будут применимы и к если, конечно, именно на будут выполняться подходящие асимптотические условия. Что касается физических проблем, то результаты, полученные на как правило, представляют больший интерес, чем результаты на Для этого есть причины двоякого рода. Во-первых, физические соображения вынуждают интересоваться больше запаздывающим излучением, которое связано со структурой гиперповерхности чем опережающим связанным со структурой если бы она имелась. Во-вторых, в случае гиперповерхности гораздо труднее, чем в случае объяснить, почему в «физически приемлемых» ситуациях на ней должны выполняться требуемые асимптотические условия (см., например, работы [355, 283, 96, 97]).

Группа Ньюмена — Унти

Как показано в § 6 [см. (9.6.31)], при подходящем выборе конформного множителя метрика гиперповерхности (со знаком минус) может быть представлена в виде

как в формуле (1.2.10)]. Не вызывает сомнений [формула (1.2.17)], что эта (вырожденная) метрика для гиперповерхности конформно сохраняется при действии активных точечных преобразований

где и — комплексные постоянные (причем ), a F - функция, (достаточно) гладкая на всей гиперповерхности (так что можно рассматривать и кроме того, при каждом значении величина должна быть монотонно возрастающей функцией переменной и, отображающей всю область изменения и для каждой образующей на себя и имеющей отличную от нуля производную по и (чтобы обратное преобразование тоже было гладким). Первое преобразование (9.8.9) — это конформные движения -пространства образующих гиперповерхности без отражений (конформная структура адекватно определяется любым из сечений этой гиперповерхности), а второе преобразование (9.8.9) в случае, когда первая является тождественным преобразованием определяет общие гладкие движения образующих в себя без отражений. Группа преобразований (9.8.9) называется группой Ньюмена — Унти или ограниченной группой но мы предпочитаем не рассматривать здесь преобразования отражения и будем называть «группой тождественно-связанные преобразования (9.8.9) без отражений. Следовательно, группу можно считать группой движений гиперповерхности без отражений, сохраняющей внутреннюю (вырожденную) конформную метрику этой гиперповерхности.

Всякий раз, когда пространство М в результате ограниченного движения Пуанкаре отображается на себя, граничная гиперповерхность пространства М претерпевает преобразования вида (9.8.9). Это происходит из-за того, что конформная структура гиперповерхности определяется конформной структурой пространства М, а последняя, конечно, сохраняется при движениях Пуанкаре. Следовательно, ограниченную группу

Пуанкаре можно считать подгруппой . Однако последняя явно намного «больше» первой, ибо является функционально-пространственной (и, значит, бесконечномерной), а не просто десяти мерной группой.