Спиноры Киллинга для вакуумных решений типа (22)

В гл. 8 мы рассмотрим классификацию гравитационного (вейлевского) спинора в искривленном пространстве-времени в зависимости от кратности его четырех ГИН [ср. с формулой (3.5.18) и далее]. Особый интерес представляет случай вакуумного пространства-времени (возможно, с ненулевой космологической постоянной), в котором ГИН попарно совпадают (т. е. имеют кратность, равную двум):

(в дальнейшем мы относим это пространство к типу или типу поскольку величина определенная соотношением

оказывается в этом случае спинором Киллинга [354]:

Доказательство состоит в том, чтобы преобразовать тождество Бианки для тензора с формулой к виду, совпадающему с уравнением (6.7.16) (см. также работу Из сказанного ранее следует, что тогда мы получим явно (комплексную) величину, сохраняющуюся при переносе вдоль геодезических в пространстве-времени указанного вида. Это оказывается особенно ценным в случае пространства Керра, которое является вакуумным, принадлежит типу и изображает гравитационное поле стационарной (вращающейся) черной дыры [125, 53, 352]. В частности, непосредственно из такого решения с помощью спинора может быть получена информация о влиянии вращения на поляризацию фотонов [58]. Другие примеры вакуумных метрик типа таковы: решение Шварцшильда (специальный случай метрики Керра, принадлежность которого к типу может быть установлена без вычислений, см. с. 273), решение и С-метрика [172]

Более того, мы имеем следующее предложение [148].

Предложение

Для всякого вакуумного пространства-времени (в том числе и с космологической постоянной), допускающего

спинор Киллинга вектор

является (комплексным) вектором Киллинга.

Доказательство. Нужно показать, что [формула (6.5.8)]. В спинорной записи это уравнение распадается на два, выражающие равенство нулю кососимметричной и симметричной по индексам А, В и А, В частей спинора Рассмотрим первое из этих уравнений, эквивалентное уравнению Имеем

[в силу формулы (4.9.2) и симметрии спинора Эта величина, очевидно, равна нулю [формула (4.9.7) и далее], что ясно и без вычислений (независимо от предположения о том, что решения вакуумные), поскольку невозможно сконструировать скаляры, билинейные по и спинорам кривизны.

Симметрично-симметричная часть имеет вид

Это выражение симметрично по индексам А, В, поскольку слагаемое, пропорциональное кривизне, возникающее от коммутаторов производных, выражается через величину равную нулю. Часть, симметричная по индексам обращается в нуль вследствие спинорного уравнения Киллинга и то же справедливо для части, симметризованной по (в силу симметрии по А, В). Таким образом, по индексам А, В и выполнены симметрии таблицы Юнга, отвечающие разбиению [см. подробное «примечание» в гл. 3, § 3, приведенное за несколько абзацев перед формулой (3.3.62)]. Отсюда следует антисимметрия по двум парам нештрихованных индексов, так что все четыре нештрихованных индекса могут быть «отделены» в виде -спиноров. Отсюда следует равенство

которое (с заменой сверткой) приводит ко второму из двух требуемых равенств. (При желании к последнему уравнению можно прийти путем прямых, хотя и более сложных вычислений.)