Пространства и инвариантная контактная структура

Перейдем теперь к общему случаю произвольного пространства-времени Мы увидим, что идеи теории твисторов плодотворны и в этом случае.

В § 1 мы показали, что, хотя изопараметричность некоего луча соседнему лучу определяется локально, в действительности она является глобальным свойством: если она имеется в одной точке луча то она имеется и во всех других его точках. В § 2 мы показали, что то же справедливо для условия отсутствия вращения пучков лучей, близких к лучу и изопараметрических ему. Следовательно, эти два свойства отвечают некоторой инвариантной структуре в пространстве каждая точка которого изображает определенный луч в

Обозначение аналогично тому, которое использовалось в гл. 6, § 10 и гл. 9, § 3, где (см. с. 370) через обозначено пространство проективных изотропных твисторов в (VI. Элементы пространства изотропные твисторы, заданные с точностью до множителя, а поэтому (если не считать, что содержит еще и «бесконечно удаленные лучи», см. гл. 9, § 3) можно рассматривать как пространство лучей в М. Но определение непроективного пространства изотропных твисторов содержит дополнительные требования к спинору в каждой точке луча: его флагшток должен быть касательным к лучу, а весь спинор должен переноситься вдоль луча параллельно. Положив мы получаем определенного рода (аффинную) параметризацию (scaling) луча и базовое полотнище флага, которые применялись ранее в данной главе. Строго говоря, спинор относится к пространству (или изотропных -твисторов. Нештрихованный же спинор относится к пространству (или ) изотропных -твисторов, комплексно-сопряженному с пространством (Проективные образы этих пространств и по существу одинаковы.) По аналогии с точками пространства мы определим теперь точку

пространства как пару: луч в и спинор , флагшток которого касателен к лучу и который переносится вдоль луча параллельно. Пространство определяется аналогично, однако роль спинора играет штрихованный спинор . Здесь мы будем иметь дело почти исключительно с пространствами а потому ради простоты примем для них упрощенные обозначения в тех случаях, когда не требуется подчеркнуть их отличие от

Одно из преимуществ пространства перед в том, что оно допускает интерпретацию меры неизопараметричности

[формулы (7.1.39), (7.1.43)], а не только условия . В силу формул (7.1.65), (7.1.66), (7.4.27) имеем представление

для твистора и вскоре мы покажем, что аналогичная формула справедлива в если использовать формализм локальных твисторов (гл. 6, § 9) в некоторой точке рассматриваемого луча. Аналогично мера вращения, т. е. либо [где L — яркостный параметр, а t - вращение, см. формулы (7.1.51), (7.1.48), (7.2.16)], либо более общая характеристика — симплектический инвариант , определенный в формуле (7.2.18), также допускает в прямую интерпретацию.

Чтобы найти выражение для величины , рассмотрим луч в пространстве М, а также два соседних с ним луча и

Представим твисторами . Выбирая начало координат в точке имеем [здесь см. формулы (7.1.62) — (7.1.64)]

Далее, опуская слагаемые третьего порядка, находим

[с учетом условий см. формулу (7.1.29)].

Предпоследняя строка в формуле (7.4.30) может быть переписана в виде

а это в силу изложенного в § 1 есть произведение мнимой единицы на квадрат яркостного параметра и на вращение, когда лучи и изопараметричны лучу . В случае неизопараметрических лучей дополнительная информация, содержащаяся в величине (7.4.31), состоит лишь в том, как изменяется масштаб задаваемый вектором при переходе от луча к лучу. В частности, выражение (7.4.31) равно нулю при всех значениях векторов в том (и только в том) случае, если поле есть поле некоего градиента ; см. формулу (7.1.57)], а не всего лишь пропорционально градиенту см. формулу (7.1.58)], что мы имеем, если выражение (7.4.31) обращается в нуль только для изопараметрических лучей (когда Отметим, что здесь автоматически выполняется равенство

Пусть теперь лучи принадлежат искривленному пространству-времени Воспользуемся локальным твисторным описанием в точке Р и представим лучи и с помощью локальных твисторов, которые редуцируются к виду при смещении от точки Р на соответственно. Пренебрегая слагаемыми второго порядка по находим, что выражения для твисторов заданных соотношениями (7.4.29), действительно обладают требуемым свойством, как это прямо следует из (6.9.14). Таким образом, выражение

определено в в смысле локальных твисторов в точке Р. Более того, оно справедливо в каждой точке луча так как величина постоянна [см. текст после формулы (7.2.18)] вдоль хотя локальное твисторное описание каждого луча вообще говоря, не является постоянным вдоль (в смысле локальных твисторов). Аналогичное замечание справедливо в отношении величины (7.4.28).

Структура, индуцированная в пространстве величинами и , наиболее естественно описывается с помощью дифференциальних форм. (гл. 4, § 3). Имеем 1-форму

и 2-форму

которые канонически определены в причем правая часть в каждом случае понимается в смысле локальных твисторов по аналогии с выражениями (7.4.28) и (7.4.32) соответственно. Величины и Е получаются как значения форм и на векторах Это утверждение легко проверить (в любой точке Р луча Строго говоря, векторы следует рассматривать как поля Якоби, заданные вдоль всего луча текст после формулы (7.2.2)], поскольку именно полем Якоби определяется касательный вектор в точке пространства е. смещение от одного луча в целом к соседнему).

Отметим также важное соотношение

Справедливость этого соотношения более или менее очевидна из формул (7.4.33) и (7.4.34), но нужна осторожность при формальном вычислении действия операции на величину (7.4.33), так как твисторы не являются независимыми, а связаны между собой в соотношением

Правда, не составляет труда избавиться (локально) от этого ограничения, рассматривая как часть (действительно-восьмимерного) многообразия для которого условие (7.4.36) не обязательно. В этом случае равенством (7.4.36) выделяется подмножество Формы и не продолжаются на канонически, однако эта неопределенность не влияет на соотношение (7.4.35). Соответствующий произвол сводится к добавлению слагаемого вида умноженного на гладкую форму, которое не дает вклада во внешнюю производную на поскольку

а это выражение равно нулю на в силу равенства (7.4.33).

Выше мы допустили некоторую вольность, рассматривая

Рис. 7.4. В пространстве можно ввести локальные координаты, сшив область искривленного пространства с плоским пространством У (с помощью соответствующей переходной области).

локальные твисторы с абстрактными индексами так, как если бы они были обычными функциями координат на и Но наши рассуждения нетрудно изменить, чтобы они стали более строгими. Например, можно считать, что рассматриваемая область (которая предполагается достаточно малой) гладко продолжается в другое многообразие пространства-времени которое является плоским в некоем открытом подмножестве Т, содержащем часть продолжения рассматриваемого луча на (рис. 7.4). Многообразие не обязано удовлетворять каким-либо полевым уравнениям, так что это продолжение можно осуществить разными способами. Выберем одно такое продолжение и введем стандартный координатный базис в [формулы (6.1.17), 6.1.34]. Все лучи, лежащие вблизи продолжаются в , следовательно, им можно сопоставить стандартные (изотропные) твисторные компоненты, взятые по отношению к базису Вычисляя компоненты форм и постоянных вдоль в этом базисе, получаем просто координатные представления выражений (7.4.33), (7.4.34), а следовательно, и (7.4.35). Отметим, что указанная процедура позволяет ввести координатную окрестность на многообразии в которой формы представимы с помощью этих стандартных выражений. Очевидно, что в таком построении (взятом из

работы [246]) имеется широкий произвол. Проведенное построение одновременно показывает, что формы и на не содержат локальной информации о кривизне поскольку они эквивалентны соответствующим формам в плоской области Т.

Структуру, связанную с формами на иногда называют контактной структурой [3]. Мы будем называть ее инвариантной контактной структурой на Форма 2, будучи невырожденной и замкнутой:

индуцирует в пространстве определенном неканонически, симплектическую структуру [3, 377]. Более того, форму 2 можно рассматривать как симплектическую структуру на действительном шестимерном пространстве полученном из факторизацией по фазовым преобразованиям:

(Симплектические структуры существуют только на четномерных многообразиях.) Стало быть, симплектическое многообразие есть пространство аффинно-параметризованных (scaled) лучей в Что касается 1-формы то она тоже хорошо определена на и связана с 2 соотношением (7.4.35) (подробнее см. в работах [246, 61]).