Поле флагштоков спинора: конгруэнция Робинсона

После того как найден луч легко описать общую геометрическую структуру флагштоков поля Учитывая произвол в выборе начала координат О, мы видим, что построение, аналогичное описанному выше, может быть выполнено в любой точке Р, в которой спинор не пропорционален спинору Если же имеет место пропорциональность, то флагшток спинора направлен параллельно лучу Однако в точке Р общего положения флагшток спинора направлен параллельно (единственному) лучу, соединяющему точку Р с той точкой, в которой луч пересекает световой конус, проходящий через Р. Таким образом, поле направлений флагштоков спинора ой просто совпадает с полем всех изотропных направлений всех световых конусов,

вершины которых лежат на луче включая также предельный световой конус, вершина которого стремится к бесконечности вдоль — это (единственная) изотропная гиперплоскость, содержащая Эта гиперплоскость есть геометрическое место точек, в которых направления флагштоков спинора параллельны лучу Z (спинор пропорционален спинору ).

Если твистор не изотропный, то его все-таки можно рассматривать как представляющий некоторый луч в «комплексифицированном» пространстве-времени. Такой подход мы будем рассматривать в гл. 9, § 3. Но можно дать реализацию твистора и с действительными лучами. Оказывается, что и в этом случае направления флагштоков спинора принадлежат конгруэнции действительных лучей. Лучи закручиваются относительно друг друга (без сдвига) в направлении правого или левого винта в зависимости от того, положительно или отрицательно произведение [То, что конгруэнция бессдвиговая, а лучи прямые, есть следствие уравнения которое выводится из (6.1.9); см. гл. 7, § 1.] Такие конгруэнции, связанные с твисторами, называются конгруэнциями Робинсона [239]. Конгруэнция Робинсона, ассоциированная с твистором, фиксирует его с точностью до скалярного множителя.

Можно указать и другой путь, тоже приводящий к конгруэнции Робинсона, ассоциированной с твистором Рассмотрим фиксированный луч X, проходящий через точку О в направлении флагштока спинора Его можно представить твистором

определенным с точностью до ненулевого множителя. Очевидно, что выполняется условие которым характеризуется в точке О направление флагштока спинора Однако выбор начала координат произволен, а следовательно, в любой точке направление флагштока спинора совпадает с направлением луча X, проходящего через эту точку и ассоциированного с твистором удовлетворяющим условию

где твистор может быть, конечно, только изотропным. Таким образом, все флагштоки поля направлены вдоль лучей, определяемых соотношением (6.2.5) (при фиксированном откуда следует, что равенством (6.2.5) описывается конгруэнция Робинсона.

Чтобы получить наглядную картину конгруэнции Робинсона, выберем специальный твистор удовлетворяющий условию и имеющий в спиновой системе отсчета

[формуле (3.1.31), см. также гл. 1], связанной со стандартной системой координат, представление

Уравнение поля со в этом случае принимает вид [формула

так что

Теперь мы можем найти дифференциальное уравнение лучей конгруэнции, исходя из того, что направление касательной, характеризуемое отношением есть направление флагштока спинора т. е.

Общее решение этих уравнений можно найти прямым путем. Но оно по существу уже определено соотношением (6.2.5): положим

так что соотношение (6.2.5) будет выполнятся, если

Тогда уравнение (6.2.2) с заменой твистора на есть уравнение луча X конгруэнции [решения уравнения (6.2.9)], определенное параметрами [удовлетворяющими условию (6.2.10)]. В явном виде имеем

Для получения наглядной картины больше подходит трехмерное описание. Рассмотрим пересечение конгруэнции с пространственноподобной гиперплоскостью Каждый луч пересекается с ней в одной точке и мы можем характеризовать направление луча его ортогональной проекцией на гиперплоскость вычисленной в точке пересечения. Проекции направлений оказываются касательными к множеству кривых, лежащих на гиперповерхности и дающих картину структуры конгруэнции Робинсона в трехмерном евклидовом пространстве. Дифференциальное уравнение этих кривых получается

Рис. 6.3. В случае произвольного твистора флагштоки спинора в любой момент времени ориентированы так, что их пространственные проекции касаются семейства окружностей и одной прямой линии, образующих стереографическую проекцию клиффордовых параллельных на . С течением времени вся конфигурация движется со скоростью света в направлении, противоположном направлению прямой линии (т. е. вдоль проекции направления заменой на в формуле (6.2.9), а также на Это дает уравнение

решения которого имеют вид

где — константы для разных кривых. Эти кривые представляют собой, очевидно, окружности, будучи пересечениями сфер с плоскостями. Они закручиваются (отсюда термин «твистор») относительно друг друга так, что каждая пара окружностей оказывается сцепленной (рис. 6.3). Закручивание происходит в направлении правого винта, если т. е. если — правополяризованный твистор. Окружности лежат на множестве коаксиальных торов, уравнение которых получается из системы (6.2.12) исключением угла Эти торы образуются вращением

вокруг оси системы коаксиальных окружностей, лежащих в плоскости

С точки зрения компактифицированного пространства-времени, о котором речь пойдет в гл. 9, § 2, гиперплоскость можно рассматривать как (конформно) компактифицированную добавлением бесконечно удаленной точки. Тогда она приобретает топологию трехмерной сферы (стереографической проекцией которой является гиперплоскость Векторное поле на не имеет особенностей и не обращается в нуль. Окружности образуют структуру, называемую расслоением Хопфа над Подходящим выбором масштаба они превращаются в клиффордовы параллельные на [57, 138, 351]. Отметим, что все окружности на гиперплоскости сцеплены с одной (наименьшей) окружностью радиусом центр которой находится в точке а уравнение отвечает значению Если величина мала, то с увеличением окружность описывает траекторию, близкую к лучу. Если же то траектория точно совпадает с положением луча: При малых значениях линии конгруэнции Робинсона можно мыслить как определяющие «приближенный» луч, но в действительности эти линии закручиваются относительно друг друга и никогда не пересекаются. Направление закручивания будет правовинтовым или левовинтовым в зависимости от того, является ли твистор право- или левополяризованным. В пределе при окружности (6.2.12) сливаются с осью при Касательные к этим окружностям ортогональны сферам, касающимся плоскости при Эти сферы представляют собой пересечения гиперплоскости с изотропными конусами, вершины которых расположены в точках т. е. на луче Тогда линии конгруэнции оказываются в точности образующими этих изотропных конусов, что отвечает случаю, рассмотренному выше (луч изотропный). Такая конгруэнция, т. е. система лучей, пересекающих заданный луч, называется специальной конгруэнцией Робинсона. (К ней относится любая система параллельных лучей — предельный случай, когда луч удален в бесконечность; см. гл. 9, § 2.)