Эрмитовость твистора на 4-импульс Бонди — Сакса

Наш интерес к отображению (9.9.46) связан с тем, что его достаточно для формулировки искомого свойства эрмитовости (9.9.20). [Полное определение нормы на будет дано чуть ниже.] В самом деле для выполнения (9.9.20) достаточно условия

Покажем, что при учете определения (9.9.47) это действительно так. Подставив в формулу (9.9.35) и взяв их в качестве левой и правой частей формулы (9.9.47), соответственно, мы получим следующую форму выражения из условия (9.9.48):

Согласно формуле (9.8.83),

[где использованы формулы интегрирования по частям (4.14.71), а также (9.9.36) (1) и (9.9.36) (2)]. Подставив это снова в

(9.9.49), получим

Мнимую часть величины (9.9.51) с помощью формулы (9.8.89) можно предоставить в виде выражения

которое после двукратного интегрирования по частям и использования формул (9.9.36) и (9.9.38) обращается в нуль. Следовательно, условие (9.9.48) действительно выполняется и мы, как и в формуле (9.9.20), достигаем желаемого уменьшения числа независимых действительных компонент твистора с двадцати до десяти.

Для выяснения смысла этих компонент обратимся к рассуждениям гл. 6, § 3—5, относящимся к плоскому пространству. Обращение в нуль проекционной спинорной части в формуле (6.3.11) (1) обусловлено тем, что, если бы мы взяли оба твистора в формуле (9.9.35) из то в результате получили бы нуль [в силу тех же соображений, что и в случае формулы (9.9.50)]. Можно показать, что само выражение (9.9.51) относится к наддиагональной части твистора и формуле (6.3.11), т. е. к полному 4-импульсу, окруженному поверхностью Действительно замечая, что при использовании стандартного описания твисторов в плоском пространстве подстановки твистора

в выражение (9.9.7) дает

и вспоминая, что главная часть твистора является вектором Киллинга мы обнаружим, что

если твистор при стандартном способе описания в плоском пространстве представить как яд). Тогда левая часть формулы (9.9.51) примет вид

где — полный 4-импульс, описываемый твистором Следовательно, формула (9.9.51) описывает изотропную компоненту 4-импульса, окруженного поверхностью 9.

Такого рода описания имеют совершенно ясный смысл в пространстве если рассматривать его асимптотическое спиновое пространство и другие пространства построенные из этого стандартным способом. Вместо того чтобы брать изотропную компоненту, как в формуле (9.9.54), гораздо удобнее взять пространственноподобную или времениподобную компоненту. Это означает выбор элементов линейной оболочки выражений на 9, т. е. элементов пространства Объединив множитель А с чтобы устранить зависимость от спиновой системы отсчета, мы получим линейную оболочку выражений как пространство скаляров на , имеющих спиновый вес и конформный вес 1. Согласно соотношениям (9.9.36) и (9.9.38), эти скаляры удовлетворяют уравнениям

и обычно считается действительной функцией. Из таблицы (4.15.60) следует, что любой такой скаляр построен только из сферических гармоник с Таким образом, выбирая в выражении

различные скаляры такого рода мы получим четыре компоненты энергии-импульса. Выбор дает энергию, а ось времени соответствует избранной нами метрике единичной сферы на выборы же, соответствующие значению (и имеющие в стандартной сферической системе координат вид в соответственно), дают 3 импульс. На этой стадии можно без потери общности положить поскольку бустовые веса здесь особой роли не играют. Выражение (9.9.56) представляет собой 4-импульс Бонди — Сакса, окруженный поверхностью Первоначально он был получен совершенно иным способом [25, 27, 298].