Повторные операции; разрешения уравнений

Отметим, что из всех операций (6.7.28), (6.7.29), (6.7.31), (6.7.33) только (6.7.29) и (6.7.31) могут действовать одновременно на один и тот же спинор и то при условии, что у него одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов Заметим также, что, хотя каждая из упомянутых четырех операций дает в результате спинор с правильными симметриями, так что можно было бы рассматривать их повторное действие, возникающие веса, как правило, не позволяют получить конформно-инвариантные выражения. В самом деле, требование конформной инвариантности будет выполняться только для следующих пар операций:

В этих специальных случаях можно построить конформно-инвариантные операторы дифференцирования второго порядка как для конформно-плоского, так и для любого пространства-времени

Вскоре мы также рассмотрим некоторые другие способы построения конформно-инвариантных операторов второго порядка.

Легко видеть, что операции, указанные в первой, второй, пятой и шестой строках формулы (6.7.46), дают нуль, если операторы коммутируют (т. е. в случае плоского пространства и отсутствия электромагнитного взаимодействия). С точки зрения задачи построения конформно-инвариантных дифференциальных операторов второго порядка такой результат разочаровывает. Однако, как мы видели в § 5, композиции операторов дифференцирования могут оказаться важными в другом отношении, а именно в связи с конструкцией точных последовательностей. В действительности можно (если ограничиться в М или «выпуклой» областью, в которой все поля могут быть выбраны голоморфными) показать не только, что композиция двух последовательных отображений дает нуль, но и что ядро последующего отображения есть в точности образ предыдущего. Стало быть, мы имеем точную последовательность из двух отображений. Более того, эти частные точные последовательности могут быть продолжены. Здесь мы укажем такие продолжения для случаев формулы (6.7.46). Случаи 2 и 5 получаются путем комплексного сопряжения случаев 1 и 6.

Начнем со случая 6. Ядро отображения (6.7.31) на симметричных спинорах образовано безмассовыми свободными полями:

За ним должно следовать отображение (6.7.33) (на симмметричных спинорах

Эта пара операторов занимает третье и четвертое место в последовательности

Поясним смысл используемых обозначений. Если — открытое множество в М (или в ), то величину временно можно трактовать как элемент множества спинорных полей на рассматриваемых как векторное пространство над С; величины индексы которых заключены в скобки, обозначающие симметризацию, могут рассматриваться как элементы множества тензоров, имеющих симметрии указанного типа. (Далее мы дадим более точное определение каждого из объектов ), которые по существу являются «пучками».) Пространство можно мыслить (пока что) как векторное

пространство над С решений безмассовых полевых уравнений в , следовательно, как ядро отображения (6.7.47). Отображение в (6.7.49) есть просто «инъекция», т. е. оно переводит всякое безмассовое поле в него же. Из приведенных определений следует, что первые три звена последовательности (6.7.49) образуют точную последовательность. Чтобы продемонстрировать это свойство для остальных звеньев, нужно показать, что всякий симметричный спинор можно представить в виде где — некоторый симметричный спинор. Доказательство проводится просто, если перейти к компонентам, отнесенным к произвольному базису [см. формулы (6.7.50), (6.7.51)].

Пусть множество достаточно мало (или имеет подходящую форму), так что не возникает глобальных препятствий для существования решений, рассматриваемых дифференциальных уравнений. Напомним, что в формуле (6.5.27) мы ввели дополнительное предположение о евклидовой топологии области При решении других дифференциальных уравнений может оказаться необходимым также ввести ограничения на форму области Такой подход представляется приемлемым для предварительной интерпретации последовательности (6.7.49). Более аккуратная трактовка состоит в том, что элементы последовательности рассматриваются как пучки. Но ни изложение теории пучков, ни даже точное определение понятия пучка в наши цели не входит. Существенным моментом является то, что свойство последовательности (6.7.49) (и других точных последовательностей пучков, рассматриваемых ниже) быть точной доказывается локально. Вместо того чтобы фиксировать открытое множество специального вида и рассматривать спинорные поля на мы требуем только, чтобы для всякой точки в М (или в существовала некоторая окрестность, где уравнения разрешимы. Например, можно показать, что пара отображений (6.7.47) и (6.7.48) образует точную последовательность, если потребовать, чтобы в каждой точке для спинора удовлетворяющего уравнению в некоторой окрестности точки Р, существовали окрестность а и спинор такой, что [Это локальный вариант условия II, входящего в определение точной последовательности; см. текст после формулы (6.5.26). Мы уже видели, что свойство I выполнено — условие локальности здесь не требуется.] Для доказательства нужно фиксировать некий базис. Положим

Нам нужно показать, что уравнения

могут быть решены локально, если только выполняется условие

. Оказывается, что условие (6.7.51) действительно позволяет шаг за шагом проинтегрировать систему (6.7.50) и тем самым доказать наше утверждение. Поэтому условие (6.7.51) можно также рассматривать как условие интегрируемости системы (6.7.50), позволяющее «подняться» вдоль точной последовательности.

Последовательность (6.7.49) есть так называемое разрешение пучка Е, или разрешение безмассовых полевых уравнений.

Это означает, что каждый из пучков свободен, т. е. заранее не предполагается, что он удовлетворяет определенным дифференциальным уравнениям. (Как и прежде, мы не приводим более строгие формулировки; разрешения играют важную роль в теории дифференциальных уравнений и в теории когомологий.)

Отображение, указанное в первой строке формулы (6.7.46), имеет важное значение, поскольку входит составной частью в разрешение пучка, комплексно-сопряженного с пучком (6.4.1), т. е. связанного с уравнением для главной спинорной части симметричного твистора вида Подмножество (пучок) множества состоящее из решений уравнения (6.4.18) (спиноры Киллинга), будем обозначать символом . При операция (6.7.28) есть отображение, определенное на симметричных спинорах ядро которого совпадает с пространством всех таких главных частей:

Это отображение занимает третье место в последовательности, точность которой таким образом установлена вплоть до третьего шага:

(То, что симметризация должна выполняться после действия операторов дифференцирования, отмечено явно в обозначениях пространств-образов.) Отметим, что последний отрезок последовательности (6.7.53) тот же, что и в (6.7.49). Пространство [записанное вертикально в формуле (6.7.53)] есть просто пространство пар , (каждая компонента пары — симметричный спинор), а отображения, указанные слева и справа, имеют следующий смысл:

Легко убедиться, что условие точности I выполнено на каждом шагу. Доказательство же того, что условие II тоже выполняется, оказывается более сложным, чем ранее (если сохранять условие локальности), а потому мы не будем его рассматривать. (Последовательность (6.7.53) была введена Иствудом [79] и Бухдалом [35]).

Интересно, что если спинорам каждого (ненулевого) пучка последовательности приписать веса

соответственно, то для каждого из отображений последовательности будет выполняться свойство конформной инвариантности при конформных отображениях, переводящих плоскую метрику (локально) в плоскую метрику Как мы увидим далее в формуле (6.8.27), такой класс отображений характеризуется условием

которое необходимо для доказательства нашего утверждения. Для масштабных преобразований общего вида производные порядка выше первого, входящие в (6.7.54) и (6.7.55), должны быть модифицированы добавлением слагаемых, содержащих тензор Риччи и его производные [см. текст после формулы (6.8.29)].

Утверждение, что последовательность (6.7.53) точная, несет в компактном виде очень много информации. Укажем как всего лишь один пример на следствие из этого утверждения, выраженное формулами (6.4.15)-(6.4.17): все безмассовые поля при условии (6.4.15) локально могут быть вычислены по формуле (6.4.16), в которой калибровочный произвол величины дается соотношением (6.4.17). Справедливость этого явствует из того, что часть ядра отображения (6.7.55), отвечающая значениям есть пространство вида где —

безмассовое поле; следовательно, это в точности та часть образа при отображении (6.7.54), для которой выполняется уравнение о [совпадающее с уравнением (6.4.15)]; калибровочный произвол определяется ядром такого отображения, т. е. ядром отображения (6.7.52), что в точности приводит к произволу, зафиксированному в соотношении (6.4.17).