которые в силу аналитичности удовлетворяются автоматически. Поскольку в неаналитическом случае уравнения те же, что и в аналитическом, они будут выполняться в первом случае, если выполняются во втором.
Это показывает, что 
будет КД-многообразием независимо от того, выполняются ли условия аналитичности на гиперповерхности 
. Но, как отмечалось выше, эти «условия интегрируемости» для КД-многообразия недостаточны для того, чтобы оно было реализуемым как действительная гиперповерхность в комплексном многообразии, и без условия аналитичности пространства 
вообще говоря, не существуют. В этом случае в пространстве 
может не существовать КД-функций, а значит, может оказаться [187], что на гиперповерхности 
не существует бессдвиговых конгруэнций!
Даже в случае, когда 
удовлетворяет условиям аналитичности, а также в случае (конформно-) плоского пространства-времени, когда выбор гиперповерхности 
не имеет значения, условие аналитичности существенно в отношении свойств самой конгруэнции. Хотя в различных формулировках теоремы Керра нам всегда приходилось принимать, что конгруэнция аналитична, мы отмечали [см. замечание перед теоремой (7.4.8)], что в М существуют и неаналитические БСК. В примере, упомянутом выше (система лучей, пересекающаяся с неаналитической кривой), вращение отсутствует, и небезынтересно заметить, что при наличии вращения всегда (локально) существует «односторонняя» функция Керра в том смысле, как это показано на рис. 7.8. Направлением вращения определяется, в какую сторону пространства 
(или 
локально продолжима поверхность
Рис. 7.8. Неаналитические 
с вращением в пространстве М изображаются в 
в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами комплексных многообразий в 
лишь по одну сторону от 
(какая именно сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть продолжены как комплексные многообразия в 
по другую сторону от 
. Это условие потребовалось, чтобы определить «комплексно-утолщенные» пространства 
и 
необходимые для построения 
Однако в исходном геометрическом определении операции 
на 
(36) такие понятия не фигурируют. Поэтому КД-структура (возможно, нереализуемая) пространства 
может быть определена непосредственно при наличии необходимых условий интегрируемости. То, что эти условия фактически выпдлняются, можно доказать без дополнительных вычислений, показав, что в аналитическом случае наше геометрическое определение операции 
согласуется с тем, которое получается в рамках конструкции твисторов гиперповерхности. (Это довольно легко сделать, рассматривая локальное твисторное описание в точке Р.) Условия интегрируемости в этом случае будут просто системой дифференциальных соотношений,
в случае правостороннего вращения и 
в случае левостороннего (то же относится к п-ространствам 
или 
определенным соответствующим образом). Эти результаты являются следствием некоторых свойств КД-структуры при дополнительных условиях голоморфной «выпуклости» [186, 139]. Оказывается, что такие свойства выпуклости определяются вращением конгруэнции.
(как ограничения голоморфных функций на поверхность Керра). Однако без предположений об аналитичности процедура Робинсона приводит к дифференциальному уравнению, рассматривавшемуся Леви [187], которое, вообще говоря, не имеет решений [331]. Полное изложение всех этих вопросов увело бы нас слишком далеко от нашей цели.
