Компоненты тензора Вейля в бивекторном базисе

Мы хотим связать канонические формы, полученные ранее в различных случаях для спинора с соответствующими каноническими формами для Но для этого сначала нужно построить общую схему переходов между бивекторными компонентами в стандартной тетраде Минковского и этими же компонентами в спинорном базисе с формулой (8.3.3)]. Определив шесть действительных бивекторов с помощью соотношения

[звездочкой обозначена операция дуального отображения; см. формулы (3.4.21), (3.4.38)], мы благодаря ортонормированности спиноров получим базис для множества действительных бивекторов, который можно считать псевдоортонормированным в том смысле, что

Тогда связь между компонентами бивектора в этом базисе и компонентами (8.3.4) соответствующих спиноров [формула (8.4.3)] по отношению к базисам для

соответственно, дается формулами

Если перевести в соответствии с формулой (8.3.4) и комплексно-сопряженной с ней формулой в форму спинорной диады и сравнить соотношения (8.4.10) и (8.4.11) с компонентами бивектора в стандартной тетраде Минковского с формулой (3.1.49)], то после соответствующих выкладок получим

Но, В силу того, что и [формула (4.6.11) и далее], компоненты тензора в базисе можно записать в следующем виде:

Вскоре мы убедимся, что для этих компонент выполняются соотношения симметрии и бесследовости

[см. формулу (8.4.21) ниже, а также формулу (8.3.6)]. Пользуясь формулами (8.4.12) и (8.4.13), компоненты тензора Риччи

в стандартной тетраде Минковского можно привести к виду

Обозначив матрицы компонент Л и В просто через А и В, можно представить компоненты (8.4.17) в форме

Компоненты тензоров Саьса и получаются аналогично:

Эти матрицы очень легко связать с матрицей компоненты которой обозначим через . В самом деле, имеем

т. е. . Таким образом,