Тип (211)

Рассмотрим симметрии тензора Саьса в алгебраически специальных случаях. Начнем с типа {211}. Любое ограниченное преобразование Лоренца должно переводить три ГГИН в него же, но так как двукратное ГГИН выделяется, то единственно возможной остается дискретная симметрия, которая ведет лишь к перестановке двух других ГГИН. Это снова вращательная симметрия с периодом 2 (поворот на угол в подходящем лоренцевом репере, и она фактически переводит тензор Саьса в него же, а не в него с противоположным знаком. Справедливость сказанного легко показать разными способами. Например, это следует из того, что преобразование

(и обратное ему) оставляет без изменения каноническую форму (8.3.39)

но меняет местами направления флагштоков главных спиноров Или же достаточно взглянуть на картину тензора на соответствующую двукратному чтобы убедиться, что вращательная симметрия, при которой двукратная точка остается фиксированной, не может привести к преобразованию такой конфигурации в ортогональную ей (что должно было бы происходить, если бы тензор Саьса переходил в себя с обратным знаком — единственная альтернатива симметрии с периодом 2).

Имеются два подходящих ортохронных несобственных преобразования Лоренца, каждое из которых имеет период 2. Одно из них оставляет без изменения все три а другое меняет местами два простых ГГИН. В спинорной форме они могут быть представлены в виде линейных отображений из генерируемых преобразованиями

(и обратными им), соответственно. Тензор Вейля переходит в себя (в себя с обратным знаком) только в том случае, когда спинор переходит в и это может иметь место в обоих случаях лишь при условии, что собственные значения действительны (мнимые) [т. е. параметр в формуле (8.5.7) действительный (мнимый)].

Тип

Теперь рассмотрим случай Каноническая форма (8.3.38)

инвариантна только по отношению к ограниченным преобразованиям Лоренца, переводящим спиноры и в кратные им. При сохранении диадной нормировки останутся лишь преобразования которые оба соответствуют тождественному преобразованию Лоренца. Единственным нетривиальным ортохронным преобразованием Лоренца, сохраняющим тензор является отражение, определяемое преобразованиями (8.5.9). Конфигурация картины тензора Вейля на рис. 8.3, отвечающая значениям убедительно показывает, что не существует такого собственного вращения, по отношению к которому оставался бы инвариантным тензор Вейля типа Вращения, оставляющие инвариантными оба ГИН, ведут к дуальным поворотам тензора

Тип

Перейдем теперь к случаю Каноническая форма

очевидным образом инвариантна по отношению к спиновым преобразованиям

и никаким другим. Преобразования (8.5.11) образуют связную группу двух действительных размерностей, а именно мультипликативную группу не равных нулю комплексных чисел. (В смысле преобразований Лоренца это мультипликативная группа всех величин Преобразования же (8.5.12) образуют не связанную с последними двух (действительно) параметрическую систему. Кроме того, нужно учитывать еще и несобственные ортохронные преобразования Лоренца, которые задаются формулами (8.5.9) и их сочетаниями с (8.5.11) и (8.5.12). Они отвечают симметриям тензора Саьса в том и только том случае, когда параметр действителен (а следовательно, конфигурация картины в точках двойных ГГИН имеет вид первой или третьей диаграммы на рис. 8.3 при что означает возможность существования симметрии отражения).

Многое из сказанного выше по поводу случая конечно, относится и к типу Однако дисфеноид вырождается в пару кратных антиподальных точек на так что теперь становятся возможными непрерывные вращения (и бусты).

Тип

Перейдем к случаю Ясно, что ограниченные преобразования Лоренца, определяемые формулами

или

(и формулами обратного знака), сохраняют каноническую форму (8.3.37)

и не существует других сохраняющих ее преобразований. Преобразования (8.5.13) являются изотропными вращениями [формула (3.6.47)] и образуют действительно-двухпараметрическую связную группу, а именно аддитивную группу комплексных чисел. Неизотропные преобразования (8.5.14) образуют

двух (действительно) параметрическую систему, не связанную с предыдущей. Несобственными ортохронными преобразованиями Лоренца (8.5.8). и (8.5.9) и их сочетаниями с (8.5.13), очевидно, исчерпываются симметрии тензора (так как они переводят в что дает два дополнительных двух (действительно) параметрических семейства. Все эти четыре варианта можно выявить по их различному поведению в окрестности кратного ГГИН. Обратимся к конфигурации рис. 8.3 при Она указывает на существование группы дискретной симметрии порядка 4, причем две из симметрий — отражения.

И наконец, два слова о случае . Группой симметрии тензора Вейля этого типа является шести (действительно) параметрическая группа (с отражениями или без).