В этом случае направление касательной в рассматриваемой точке определяется отношением
Смысл этих выражений, записанных в обозначениях с абстрактными индексами, становится понятным, если принять во внимание определение (8.7.7):
Отношение же 
величин, записанных в обозначениях с абстрактными индексами, — это просто класс эквивалентности пар 
относительно соотношения 
Согласно теореме Эйлера об однородных функциях, получим
При 
из этих соотношений в силу предложения (2.5.56) следуют равенства
где 
— некоторые функции. Таким образом, вся информация, которая остается от (8.7.24), это отношение
Следовательно, им и определяется наклон кривой 
в точке X. Заметим, что оператор
«сводит к нулю» спинор 
в точке X только в том случае, если
а значит, он соответствует дифференцированию в направлении, задаваемом отношением а 
В качестве первого приложения изложенного найдем условие соприкасания кривой 
в точке X с 2-образующей, определяемой фиксированным спинором 
(т. е. условие существования двух совпадающих пересечений кривой 
в точке X). В соответствии с (8.7.16) это условие имеет вид 
в точке X. (8.7.28)
Оно же есть условие того, что спинор 
является двукратным главным спинором канонического разложения выражения (8.7.12). Точно так же Е-образующая, определяемая фиксированным спинором 
касается кривой 
в точке X при условии [аналогичном условию (8.7.17)]
Точка X будет двукратной (или более специальной) точкой кривой 
только при одновременном выполнении этих двух условий:
Заметим, что в силу тождеств (8.7.25) условие 
при котором точка X лежит на кривой 
следует из любого равенства (8.7.30).
Как и в формуле (8.7.25), на основании теоремы Эйлера имеем равенство
Следовательно, условие существования двукратной точки таково:
Но в силу симметрии производной должна иметь место пропорциональность между 
и 
и мы приходим к первому из нижеследующих соотношений, тогда как остальные получаются в результате аналогичных рассуждений:
причем 
— некоторые функции. Отношениями 
определяется наклон двух ветвей кривой 
в точке X. Направление, определяемое условием а 
[как и в формуле 
соответствует наклону одной из ветвей, если
ибо это условие есть уравнение 
с оператором 
отвечающим формуле (8.7.27). Наклон обеих ветвей одинаков, если уравнение (8.7.32) имеет кратные корни, т. е. если
а это в свою очередь является условием того, что X — точка возврата или более специальная точка 
с формулой (8.7.19)].
В силу уравнения (8.7.32) направление, задаваемое отношением а 
будет отвечать указанному двойному наклону, если [как в формуле (8.7.20)]
Поэтому [как и в случае (8.7.21)] точка возврата X выродится в точку соприкосновения (или точку более специального типа) при условии
которое приводит к соотношению, сходному с (8.7.22). [Величины 
в формуле (8.7.35) считаются фиксированными числами, удовлетворяющими уравнениям (8.7.34), а значит, не подлежащими дифференцированию.
Чтобы существовала (как минимум) трехкратная точка, наряду с условием (8.7.30) должно [при определениях (8.7.31)] выполняться условие
Отметим, что все сказанное выше о кратных точках относится и к кривым на 
являющимся просто голоморфными и не обязательно алгебраическими.
конечно, определяется не неоднородным уравнением, подобным уравнению, получающемуся в результате приравнивания нулю выражения (8.7.14), а уравнением, которое получается в результате приравнивания нулю дважды однородной функции (8.7.7). Поэтому точка X комплексификации 
задаваемая радиус-вектором будет принадлежать кривой 
только при условии
