Связь между сильной конформной геометрией и твистором

Теперь мы проанализируем структуру и геометрический смысл этой группы. Но сначала рассмотрим сильную конформную геометрию на с различных точек зрения. Прежде всего отметим, что с помощью выражения полученного в результате возведения в квадрат выражения (9.8.17), эту геометрическую структуру можно представить в тензорной форме. Величина есть (положительно определенный) внутренний метрический тензор гиперповерхности причем большие греческие буквы служат теперь абстрактными индексами, внутренними для гиперповерхности . В формуле (9.8.18) у вектора использовался индекс, относящийся к 4-пространству, что для контравариантных индексов более или менее приемлемо. Но в случае ковариантных индексов важнее сохранить разницу в обозначениях между индексами, относящимися к 3-пространству и к 4-пространству, поскольку кокасательные пространства гиперповерхности — это фактор-пространства такой границы пространства , а касательные пространства — ее подпространства. [Возникает трудность, связанная с изотропностью гиперповерхности при которой невозможно естественное определение ортогональных проекторов (проекционных операторов), таких, как в формуле (4.14.6).] Если вектор № тоже записать, пользуясь такого рода внутренними абстрактными индексами, то внутренний по отношению к тензор, равный квадрату выражения (9.8.17), можно переписать в виде

С помощью величин, относящихся к 4-пространству, тензор (9.8.34) можно интерпретировать как абстрактный тензор

Ортогональность вектора № ко всем касательным к гиперповерхности направлениям выражается соотношением

[которое в силу формулы (9.8.35) позволяет сделать очевидный вывод, что тензор равен нулю по модулю кратных векторам Кроме того, мы имеем

Внутренний тензор (9.8.34), подчиненный условиям (9.8.36) и (9.8.37), представляет сильную конформную геометрию на

Считая (вырожденную) конформную метрику гиперповерхности заданной, можно предложить и другие способы описания сильной конформной геометрии. Например, если через обозначить 2-форму, которая является мерой площади поверхности (индуцируемой метрикой для 2-поверхностей на то выражение

тоже дает требуемую структуру сильной конформной геометрии. То же можно сказать и о произведении

в котором , причем на . Вообще говоря, имеет место равенство

(в чем легко убедиться, перейдя к диагонально-кооординатному описанию). Знаком 2-формы определяется ориентация площади но он остается неопределенным в формуле (9.8.40). Будем считать, что ориентация и ориентация во времени гиперповерхности являются частью ее заданной внутренней структуры.

Еще одно проявление сильной конформной геометрии на связано с теорией твисторов (и понадобится нам в § 9). Напомним, что в твисторном методе описания пространства М конкретный световой конус, определяющий гиперповерхность выделяется заданием (с точностью до коэффициента пропорциональности) твистора бесконечности или дуального ему твистора [формула (6.2.25)]. Выбором требуемого масштаба для твистора (или для и определяется сильная конформная геометрия гиперповерхности Мы покажем, что такой подход пригоден и в случае пространства если использовать локальное твисторное описание твистора (см. гл. 6, § 9).

Если предположить, что пространство вблизи пусто, то [формула (6.8.12)] и «спинорная часть» твистора относительно физической метрики постоянна,

при локальном твисторном переносе (6.9.12). В силу конформной инвариантности локального твисторного переноса «спинорная часть» твистора относительно метрики тоже оказывается постоянной. Согласно формуле (6.9.6), такое представление твистора имеет вид

Здесь не предполагается, что просто считается [ср. с предложением (9.6.18)], что физическая скалярная кривизна вблизи равна нулю:

т. е. что вблизи имеются только безмассовые поля. При выводе формулы (9.8.41) использовались соотношения (6.8.21), (6.8.23), равенства [формула (9.8.7)], , а также соотношение

которое следует из равенства (9.8.24) (последнее показывает, что перестановка индексов в выражении приводит, самое большее, к изменению знака), и соотношение

получающееся в результате подстановки выражения (9.8.23), поскольку в него входит тангенциальная производная.

Можно показать, что локальный твистор (9.8.41) на самом деле постоянен на гиперповерхности даже в более общем случае (9.8.42). Доказательство основано на прямом применении определений, данных в гл. 6, § 8, и несколько облегчается при использовании условий (9.8.29), так как из них вытекает равенство

Отметим, что существенная спинорная часть твистора на согласно формуле (9.8.41), равна

(так как путем изменения масштаба спинор можно сделать равным нулю). Это тесно связано с сильной конформной структурой (9.8.34). Так, выражение (9.8.35) можно записать в

следующей спинорной форме:

От произвола в выборе величин можно избавиться, применив свертку с или или Очевидно, что результатом свертки с двумя штрихованными спинорами или с двумя нештрихованными будет нуль; следовательно, чтобы получить нетривиальный результат, нужно сворачивать с одним штрихованным и одним нештрихованным. Такая свертка дает выражение

(и комплексно-сопряженное ему), из которого следует убрать (скажем) чтобы скомпенсировать появившиеся в процессе свертки дополнительные сомножители Результат, который мы запишем в виде

имеет форму внешнего произведения величины (9.8.46) на комплексно-сопряженную ей величину. Таким оборазом, внутренний тензор (9.8.34) на фактически распадается на две части [отличающиеся от (9.8.17)], а именно на (важную) спинорную часть твистора и на соответствующую часть дуального ему твистора . В этом смысле сильная конформная метрика на «расщепляется» на два сомножителя произведения что напоминает «расщепление» (3.1.9) метрики пространства-времени на два сомножителя произведения