§ 2 (гл. 2). Формализм абстрактных индексов в тензорной алгебре

Тензорные (или спинорные) индексы, набранные светлым курсивом, представляют собой просто абстрактные метки и не принимают численных значений, а также не нумеруют компоненты тензора в каком-либо базисе. Например, символ есть обозначение обычного вектора V в паре с меткой а (элементом некоторого заданного множества меток и символы хотя и представляют один и тот же геометрический вектор V, суть разные элементы алгебры абстрактных индексов, поскольку в них данный вектор спарен с разными элементами множества Аналогично спин-вектор х может изображаться различными элементами алгебры: а также комплексно-сопряженными величинами Тензорные произведения в этой алгебре коммутативны (например, но ). Индексы, набранные прямым жирным шрифтом, принимают численные значения и нумеруют компоненты тензоров по отношению к выбранному базису (например, индексы мирового тензора принимают значения 0, 1, 2, 3, а индексы спинорных компонент или принимают значения 0, 1 или 0, 1 соответственно).

Обозначив базис -мерном пространстве) символом , а дуальный базис символом мы можем записать компоненты тензора в виде

и, наоборот, выразить тензор через его компоненты:

Различные символы, используемые для обозначения абстрактных индексов (которые, если это требуется, могут представлять собой некий набор верхних и нижних индексов), можно «объединять» в едигг собирательный (абстрактный) индекс, который обычно обозначается рукописной заглавной буквой. Собирательные

индексы удобны в утверждениях общего характера о тензорных (спинорных) системах. Символ в явной записи индекса может означать, например, обозначает совокупность (-модуль) тензоров (спиноров), структура абстрактных индексов которых обозначена собирательным индексом в верхней позиции (хотя в него входят и верхние и нижние индексы). Скаляры образуют коммутативное кольцо с единицей (обычно мы рассматриваем гладкие -комплексные скалярные поля на многообразии пространства-времени ). Для действительных полей мы используем символ вместо Модуль, дуальный модулю обозначается через Для вполне рефлексивной системы имеет место более общее предложение.

Предложение

Множество всех -полилинейных отображений из в может быть идентифицировано с модулем причем отображения имеют вид свернутых произведений.

Таким образом, можно считать, что всякий элемент задает отображение

в дополнение к другим возможным отображениям между этими пространствами, полученным путем иной группировки исходных индексов. Разные рукописные буквы в индексе, вообще говоря, указывают на разные группировки тензорных (или спинорных) индексов. Если же требуются одинаковые группы индексов, то собирательный индекс дополняют цифровой меткой, например

Множество спиноров или тензоров, взятых в фиксированной точке Р многообразия обозначают символом и соответственно обозначает ограничение элементов на подмножество многообразия

Соответствие между абстрактными индексами тензоров и спиноров

Индексы мировых тензоров рассматриваются как собирательные индексы, каждый из которых просто заменяет пару спинорных индексов — штрихованного и нештрихованного. Мы примем

обычные обозначения

Штрихованные спинорные индексы комплексно-сопряжены соответствующим нештрихованным (в том смысле, что Спинорные индексы можно поднимать и опускать умножением на антисимметричные -спиноры:

(аналогично для штрихованных индексов, причем , в , и это согласуется с обычным правилом поднятия и опускания индексов для мировых тензоров (с помощью метрики поскольку имеют место соотношения

(Заметим, что — это -символы Кронекера.) Порядок штрихованных, а также нештрихованных индексов нельзя изменять произвольно, тогда как расположение штриховых индексов относительно нештрихованных несущественно; например, величину можно записать во всех следующих видах, кроме последнего:

Для -спиноров выполняются тождества

аналогичные тождества с поднятыми индексами, такие, как

а также их комплексно-сопряженные варианты. Мы заключаем, что

а поэтому для величины кососимметричной по А, В, справедливо представление

Базисы и компоненты

Для спинорного базиса в т. е. для диады, мы используем обычные символы причем и Диада не обязательно нормирована на единицу, а поэтому мы вводим также величину

При диада называется спиновой системой отсчета, в этом случае справедливы соотношения

Условие же для общей диады имеет простой вид в силу следующего предложения.

Предложение

Условие алрл в некоторой точке является необходимым и достаточным для того, чтобы спиноры в этой точке получались друг из друга путем умножения на скаляр.

Со всякой спиновой системой отсчета ассоциирована изотропная тетрада :

удовлетворяющая соотношениям

а также стандартная ограниченная тетрада Минковского

Рис. 1.17. Стандартная связь между спиновой системой отсчета и (ограниченной) тетрадой Минковского

причем обратные соотношения имеют вид

Геометрическая связь между показана на рис. 1.17. Компоненты вектора заданные в тетраде Минковского, связаны с компонентами в спиновой системе отсчета соотношениями

Чтобы найти связь между компонентами тензора общего вида, заданными по отношению к тетраде Минковского и в спиновой системе отсчета, удобно использовать символы перехода

Изотропные векторы и изотропные флаги

Комплексный изотропный вектор (для него выполняется равенство может быть записан в спинорной форме

где в случае действительного изотропного вектора ориентированного в будущее (или в прошлое), можно положить (или — Два комплексных изотропных вектора которые можно представить в виде (3.2.6) при » ортогональны в смысле равенства

в том и только в том случае, если или для некоторого или

Со всяким спин-вектором отличным от нуля, ассоциирован действительный ориентированный в будущее изотропный вектор

называемый его флагштоком, а также простой действительный изотропный бивектор

которым определяется элемент ориентированной изотропной 2-плоскости (проходящей через флагшток), называемый полотнищем флага (или «топором» по терминологии книги [230]). Флагшток и полотнище флага образуют вместе изотропный флаг, который описывает спинор с точностью до знака. При умножении на -действительные величины) в раз увеличивается протяженность флагштока и поворачивается на угол 20 полотнище флага.