Связь с теорией твисторов

Формулы (6.6.11) выглядят довольно сложно. Замечательно, что они существенно упрощаются, если для конформных векторов Киллинга в пространстве Минковского мы используем твисторные выражения, полученные ранее. Для спинора рассматриваемого как главная спинорная часть эрмитова твистора мы имели (при )

причем условие эрмитовости твистора (действительности спинора приводило к соотношению

Вводя также требования равенства нулю следа: мы получаем

Подставляя это в однократно свернутое соотношение (6.6.13), находим

Следовательно,

Таким образом, третье выражение (6.6.11) дает

Итак, если не считать множителя спинорная производная Ли величины совпадает с одной из спинорных частей эрмитова твистора главная часть которого равна другая спинорная часть этого твистора равна

В этой связи, пожалуй, стоит отметить, что если мы опустим требование (6.6.15) равенства нулю следа то

единственным изменением в окончательном результате будет наличие действительной части следа спинора выражения (6.6.15) совместно с (6.6.14) следует, что спинор должен быть чисто мнимым.] Чтобы перейти от рассмотренного выше случая, когда к данному более общему случаю, выполним подстановку

где — действительная константа. Вспоминая равенство (6.6.17), получаем

откуда следует, что множитель к в выражении (6.6.5) приобретает мнимую часть:

Это как раз тот случай, когда возникает «геометрически неестественная» производная Ли спинора — случай, отброшенный нами при выводе соотношений (6.6.11).

Если есть требуемый вектор Киллинга, то [формулы (6.5.1), (6.5.17)] откуда в силу формулы следует, что т. е. спинор симметричен:

Тогда тензор будет кососимметричным, так что формулу (6.6.12) можно рассматривать как частный пример представления (3.4.20) кососимметричного тензора с помощью симметричного спинора.