Интерпретация изотропных углов

Как уже говорилось, сильная конформная геометрия на появляется как метрическое, а не конформное свойство пространства Чтобы это было яснее, нужно дать прямую интерпретацию сильной конформной структуры на основе геометрии пространства Пусть Р — точка гиперповерхности Рассмотрим два неизотропных направления касательных в точке Р к Чтобы лучше уяснить смысл двух типов углов, возможных между направлениями исходя только из геометрии пространства-времени, следует сначала рассмотреть (в плане конформной структуры пространства-времени в точке Р) не сами направления а их ортогональные дополнения. Они представляют собой две гиперплоскости в Р, соответственно. Поскольку направления пространственноподобны, гиперплоскости должны быть времениподобными,

Рис. 9.22. Касательное к гиперповерхности в точке Р направление можно характеризовать его ортогональным дополнением Последнее пересекается с «параболическим» сечением (имеющим структуру евклидова 2-пространства ) светового конуса прошлого с вершиной в Р по «прямой линии» в и эта прямая тоже может служить характеристикой направления а значит, должны иметь нетривиальные пересечения со световым конусом прошлого с вершиной в точке Р. Эти пересечения представляют собой совокупности изотропных направлений в точке Р, каждое из которых продолжимо до луча в пространстве являющегося образующей светового конуса с вершиной в точке Р в пространстве Это построение и дает нам искомую интерпретацию гиперплоскостей а и , а стало быть, и направлений на основе обычной пространственно-временной геометрии световых лучей (рис. 9.22).

Возвращаясь к сказанному в § 1, вспомним, что изотропную гиперповерхность в пространственном отношении можно интерпретировать как асимптотически плоский волновой фронт, а это приводит к тому, что геометрия 2-пространства (локального) сечения конуса по мере продвижения этого сечения вдоль в будущее переходит в геометрию евклидовой плоскости. Если есть пространство Минковского М, то И? обязательно является изотропной гиперповерхностью, все сечения которой внутренне представляют собой точные евклидовы 2-плоскости и изометрически отображаются друг на друга образующими конуса . В общем случае мы имеем хорошо определенную предельную евклидову плоскость позволяющую описать геометрию образующих конуса точки которых соответствуют различным изотропным направлениям (прошлого) в точке Р,

отличающимся от направлений, связанных с одной, проходящей через точку Р образующей у гиперповерхности

В сущности можно рассматривать как сечение в касательном пространстве в Р, возникающее в результате пересечения светового конуса прошлого с вершиной в Р изотропной гиперповерхностью, параллельной образующей у. Это «параболическое» сечение имеет внутреннюю евклидову 2-метрику [см. рис. 9.22; ср. с рис. 9.6 и, что больше соответствует рассматриваемому кругу вопросов, с рис. 1.5 (т. 1, с. 30)], и можно добиться, чтобы у нее был правильный масштаб, потребовав, чтобы при использовании индуцированной ею («нефизической») метрики и ассоциированного вектора уравнение этого сечения (с началом отсчета в точке Р) в пространстве имело вид

В этом случае индуцированная метрика инвариантна относительно преобразований (9.8.13), (9.8.14).

Перейдем теперь к ортогональным дополнениям в точке Р. Для этого точку пространства лучше ассоциировать не просто с изотропным направлением в точке элементом 2-плоскости, натянутым на это изотропное направление и на изотропное направление, связанное с лучом у. В самом деле, всякий элемент 2-плоскости, проходящий через направление луча у (но не касающийся гиперповерхности содержит помимо изотропного направления у в точке Р еще (одно и только одно) это изотропное направление. Тогда ортогональным дополнением такого элемента 2-плоскости является элемент другой 2-плоскости, но теперь уже касательный к гиперповерхности и не содержащий направления, связанного с лучом у. Таким образом, имеем:

Точки пространства соответствуют неизотропным элементам 2-плоскостей, касающимся в точке Р гиперповерхности

Существует конструкция, «дуальная» только что описанной: касательное к в точке Р направление а соответствует в дуальному (в пределах точке элементу, а именно евклидовой прямой (рис. 9.23). (Отметим, что касательное к в точке Р направление представляет собой пересечение двух касательных к гиперповерхности -плоскостей; прямая линия в объединяет две точки в Итак, имеем:

Неизотропные направления, касательные к гиперповерхности в точке Р, соответствуют прямым линиям в

Рис. 9.23. Если (пространственноподобные) касательные к направления представляются прямыми в то обычные углы на равны просто соответствующим углам между прямыми в Изотропным же углам на соответствуют расстояния между параллельными прямыми в

Это то же самое соответствие, которое мы получили ранее и в силу которого направления, были представлены пересечениями элементов (соответственно) со световым конусом прошлого с вершиной в точке Р. Теперь на основании утверждения (9.8.50) можно сказать, чему отвечают эти пересечения: направления представляются прямыми (соответственно) в Это позволяет наглядно представить два рассматриваемых типа углов между пользуясь обычным геометрическим языком. В общем случае имеется отличный от нуля угол между прямыми Прямой геометрический анализ показывает, что — это еще и неизотропный угол между направлениями Но угол может оказаться равным нулю, и тогда прямые становятся параллельными. В этом случае возникает новая мера расстояния между а именно евклидово расстояние между ними! Простые вычисления показывают, что — это в точности изотропный угол (9.8.22) между направлениями