Дисфеноид для типа {1111}

Эти симметрии можно обнаружить непосредственно, не обращаясь к каноническим формам Петрова. Рассмотрим сферу с четырьмя точками А, В, С и на ней, описывающими ГГИН (см. § 2). Существует единственное ограниченное преобразование Лоренца переводящее А, В, С в откуда в силу равенства [формула (8.3.15)] двойных отношений следует, что также переводит в С. Квадрат преобразования очевидно, является тождественным преобразованием, ибо переводит каждую точку А, В, С (и D) в нее же. Следовательно, преобразование не может быть изотропным поворотом [формула (3.6.47)], а значит, оставляет инвариантными две и только две точки Е и F. В самом деле, если выбрать лоренцев репер, в котором Е и будут антиподальными точками на то преобразование будет выглядеть просто как поворот на угол вокруг оси Точно так же существует соответствующее ограниченное преобразование Лоренца которое переводит точки А, В, С, D в С, D, А, В и оставляет без изменения точки и Н. Преобразование 3? 2 инвариантно по отношению к что выполняется, ибо преобразование, стоящее в левой части равенства, ведет к цепочке Таким образом, точка при повороте под действием переходит в точку Н, а значит, прямая перпендикулярна оси Теперь воспользуемся бустом вдоль оси перемещая линию так, чтобы она пересекла ось в ее средней точке (являющейся центром сферы Теперь обе пары точек и являются антиподальными (и располагаются в вершинах

квадрата). Существует еще и преобразование которое ведет к обращению и имеет инвариантные точки К и Прямая пересекает каждую из прямых и под прямым углом, в результате чего возникает триада взаимно перпендикулярных линий, проходящих через центр точек и образуют вершины правильного октаэдра).

Каждый из поворотов на угол вокруг осей и переводит неупорядоченное множество , в него же. Фактически, задав точку , можно найти положение точек В, С и просто выполнив поочередно все эти повороты. Так, точка В получается в результате отражения точки относительно оси С — в результате отражения относительно — при отражении относительно Окончательная конфигурация из четырех точек дает набор вершин тетраэдра специального типа, носящего название дисфеноида и характеризуемого попарным равенством противолежащих ребер, — в данном случае выполнение этого условия следует из существования поворотов, переводящих каждое ребро в противолежащее. Следовательно, прямые, соединяющие середины противолежащих ребер (линии и на рис. 8.5), дают три взаимно ортогональные оси двойной симметрии.

При условии действительности двойного отношения дисфеноид уплощается и переходит в прямоугольник. При или 1/2 (гармонический случай) он превращается в квадрат, а при (эквиангармонический в правильный тетраэдр. [См. текст после формулы (1.3.12).]

Рис. 8.5. Дисфеноид, вершины которого соответствуют ГИН, представленным на сфере в специальной системе отсчета (тип {1111}).

Каждый из поворотов переводит дисфеноид в него же. Значит, каждый такой поворот должен переводить спинор Вейля в кратный ему же. Но, поскольку квадрат каждого преобразования является тождественным преобразованием, эта кратность должна ограничиваться значениями ±1 и в силу симметрии каждому преобразованию должна соответствовать одна и та же кратность. Однако , так что в действительности эта кратность во всех случаях должна быть равна единице, откуда следует, что спинор (а значит, и тензор Саьсл) должен быть инвариантным по отношению к этим трем поворотам.

Три пары точек имеют то отношение к изложенному ранее в этой главе, что они являются представлениями на сфере главных изотропных направлений трех собственных спиноров спинора Это следует из инвариантности спинора по отношению к трем поворотам Дело в том, что собственные спиноры должны быть инвариантными еще и по отношению к каждому повороту (причем с разными собственными значениями). Единственными парами точек, обладающими инвариантностью именно такого рода, и являются пары

Спиновые преобразования, которые ведут к этим поворотам, можно представить в следующей явной форме:

где -нормированный собственный спинор [множитель обеспечивает правильную нормировку (3.6.30) спинового преобразования]. Из сказанного в гл. 3, § 6 следует, что главные изотропные направления спинора являются фиксированными направлениями преобразования (8.5.5) и что квадрат преобразования (8.5.5) дает отрицательное тождественное спиновое преобразование которое, как и требуется, соответствует тождественному преобразованию Лоренца. Выбрав спиновую систему отсчета , для которой выполняется условие (8.3.34)

можно убедиться, что эти преобразования, в самом деле, имеют место, когда элементы принимают по очереди значения (8.3.3), так, что

или

или

во всех трех случаях соответственно.

Геометрическая картина, которую мы представили, дает независимый способ определения канонической формы Петрова для типа {1111}. При указанном выше (единственном) выборе оси времени (опирающемся на шесть собственных плоскостей) четыре точки А, В, С и располагаются на симметричном дисфеноиде, образуя только что описанную конфигурацию. Соответствующие этому дискретные вращательные симметрии (связанные с существованием времениподобных плоскостей, натянутых на главные изотропные направления собственных спиноров, а значит, и с существованием осей вращения и указывают на то, что компоненты тензора Саьсл в репере, который определяется осями вращений, должны обладать характеристическим свойством (8.5.4).