Две спиновые структуры на М*

Чтобы исследовать глобально поле на М или хотя бы сказать, что мы понимаем под спинорным полем на М, необходимо сначала точно определить спиновую структуру пространства М. Это не тривиальная задача, ибо пространство М не односвязно (см. гл. 1, § 5). У пространства М с топологией [формула (9.2.1)] имеется один-единственный «нестягиваемый» замкнутый контур, а все остальные могут быть непрерывной деформацией переведены в него или в кратный ему. Этот контур можно считать изотропной геодезической, или лучом, в М. (То, что ни один ненулевой контур, кратный контуру у, не может быть непрерывно деформирован в точку, должно быть ясно из сказанного в начале § 2.) Значит, в соответствии с изложенным в гл. 1, § 5 в пространстве М должно быть две (и только две) спиновые структуры, и их можно различать, указывая, как следует непрерывно переносить изотропный флаг по у, чтобы получить исходный спин-вектор, а не противоположный ему.

Может возникнуть мысль, что здесь существует «очевидный» выбор: считать спин-вектор неизменившимся, если его флаг переносится параллельно самому себе по контуру у. Но это значило бы игнорировать ряд тонкостей, связанных с переходом через гиперповерхность 9. Исходная связность Кристоффеля определение которой опирается на метрику пространства , непригодна для определения параллельного переноса через 9. Чтобы все же перейти через 9, можно было бы воспользоваться связностью Кристоффеля для какой-нибудь другой метрики. Разумеется, тем самым мы допустили бы некоторый произвол, но суть проблемы не в этом. Рассмотрим изотропный флаг с флагштоком вдоль у: этого вполне достаточно, ибо если есть один ненулевой спин-вектор, определенный вдоль у, то его можно дополнить до спиновой системы отсчета вдоль у и все такие наборы, полученные в результате дополнения исходного спин-вектора до полной спиновой системы отсчета, непрерывно деформируемы друг в друга. Из формулы (7.1.20) следует, что условием параллельного переноса полотнища флага спинора вдоль направления его флагштока является действительность спинового коэффициента Но, согласно формуле (5.6.29), это свойство сохраняется при конформных

масштабных преобразованиях, а значит, перенос полотнищ флага вдоль направления флагштока не зависит от выбора кристоф-фелевой связности т. е. не зависит от выбора масштаба для метрики рассуждение явно носит локальный характер и не требует глобального определения спинора

Итак, у нас есть естественный конформно-инвариантный способ переноса таких изотропных флагов по контуру у. Упоминавшаяся выше тонкость состоит в следующем: когда мы проносим флаг таким способом по контуру у один раз, направление полотнища флага по возвращении в исходную точку меняется на обратное. Посмотрим, как это происходит.

Возьмем второй луч у, бесконечно мало смещенный относительно у так, что векторы смещения ортогональны направлению у, т. е. лучи у и у изопараметричны (см. гл. 7, § 1). Этому требованию отвечает, например, случай, когда у и у — два соседних луча одной изотропной гиперповерхности. Если полотнище нашего изотропного флага в этом случае направлено от у к у (т. е. является полуплоскостью направлений всех соединяющих у и у векторов смещений), то это полотнище переносится вдоль у параллельно самому себе. Теперь предположим, что, вместо того чтобы быть параллельным лучу у, луч у стал образующей светового конуса с вершиной в произвольной наперед заданной точке Р луча у. В смысле конформности это эквивалентно параллельному случаю, в котором Р лежит на У (см. § 1, 2). Так как параллельный перенос направлений полотнища флага вдоль у конформно-инвариантен, он определяется лучом у во втором случае столь же хорошо, как и в первом. Двигаясь вдоль луча у, можно обнаружить, что в вершине конуса Р векторы смещений, идущие от у к у, меняют свой знак (рис. 9.11). Поскольку изотропный конус имеет только одну вершину, такая ситуация больше нигде на у не повторяется. Все это означает, что параллельный перенос изотропного флага, скажем флага спинора с флагштоком, расположенным вдоль , по всему контуру у в М из точки, являющейся непосредственным будущим точки Р, в точку, являющуюся ее непосредственным прошлым, обращает направление флага. Только от нас зависит, считать ли это обращение эквивалентным отрицательному или положительному повороту на угол . С таким выбором и связаны упоминавшиеся выше две возможные спиновые структуры пространства М. Будем называть правовинтовой спиновой структурой пространства М структуру, гарантирующую, что следующее замкнутое движение флага спинора (т. е. «путь флага», см. гл. 1, § 5) должно еще и возвращать сам спинор к его исходному, а не противоположному по знаку, значению: полотнище флага спинора совершает один

Рис. 9.11. Обращение направления полотнища флага при параллельном переносе в случае, когда луч у пересекается с гиперповерхностью только один раз

параллельный перенос из точки Р луча у по у в направлении будущего в точку, являющуюся непосредственным прошлым точки Р, а затем для восстановления связи с исходным положением оно совершает правый поворот на вокруг направления флагштока, Вторая спиновая структура называется левовинтовой спиновой структурой пространства М. Отметим, что результаты таких двух допустимых движений изотропного флага различаются поворотом на а значит, они и в самом деле определяют различные спиновые структуры. Поскольку интуитивно смысл понятия «правого» поворота — относительно указывающего в будущее направления вдоль спинора — вполне ясен, обратившись к повороту вектора, касающегося римановой сферы и представляющего направление полотнища флага, можно дать и точное определение: «правый» — значит против часовой стрелки, если смотреть снаружи сферы. К тому же представление о правом вращении позволяет говорить о пространственной проекции изотропного направления будущего вдоль у.

Если нет каких-либо оснований предпочесть правый поворот левому или наоборот, что обе эти спиновые структуы совершенно равноправны. Фактически мы можем сказать следующее:

При пространственном отражении пространства одна из двух таких спиновых структур заменяется другой.

Напомним, что пространственные отражения переводят нештрихованные спиновые пространства в штрихованные, и наоборот. Связь этого факта с только что обсуждавшимися возможностями выбора спиновой структуры можно усмотреть в следующем. В случае нештрихованного спинора правый поворот на вокруг флагштока эквивалентен преобразованию а левый поворот на — преобразованию общем случае правые и левые повороты на угол а эквивалентны преобразованиям соответственно). В случае же штрихованного спинора соответствующие преобразования будут иметь вид Таким образом, если принять правовинтовую спиновую структуру пространства М (что мы, как правило, и будем делать), то обнаружится, что параллельный перенос спинора по контуру V в направлении будущего в исходную точку приводит к первоначальному значению спинора умноженному на (поскольку поворот на угол восстанавливает первоначальное значение этого спинора). Та же процедура, примененная к спинору гадает его первоначальное значение, умноженное на Если же вместо этого принять левовинтовую спиновую структуру, то множители и поменяются местами. (Несколько иной подход можно найти в работе [377].)

Отметим следующее:

По отношению к отражению во времени пространства обе указанные спиновые структуры инвариантны, хотя такое отражение приводит к замене штрихованных спиноров нештрихованными и наоборот. В этом нетрудно убедиться. Если обратить направление времени, то последствия для движения, определяющего непрерывность спин-вектора, скажем правовинтовой спиновой структуры, будут двоякого рода. Во-первых, поскольку все движения теперь рассматриваются при обращенном времени, положительный поворот на угол из-за этого обращается и становится отрицательным. Но тут же обращается и пространственное направление, по отношению к которому измеряется поворот, ибо направление будущего вдоль контура у теперь в пространственном отношении противоположно тому, что было. А это ведет ко второму обращению право-лево-вращательности, в результате чего правовинтовая спиновая структура при обращении времени фактически переходит в себя, что справедливо и для левовинтовой структуры.

Комбинируя последствия пространственного отражения и независимого от него отражения во времени, получаем, что

Пространственно-временное отражение пространства М ведет к взаимной замене двух указанных спинорных структур.

(Отметим, однако, что пространственно-временные отражения не ведут к обмену местами штрихованных и нештрихованных спинорных индексов.)