Приложение. Спиноры в n измерениях

Спиноры, которые рассматривались в этих двух томах нашей книги, есть частный случай некоего общего понятия. Понятие спинора определено для группы собственных вращений в пространстве произвольного числа измерений лис произвольной сигнатурой.

Спинорный метод оказывается особенно мощным в случае, когда [и пространство-время имеет сигнатуру но он эффективен и при других значениях . И все же, поскольку размерность спинорного пространства растет экспоненциально с ростом спинорный формализм, естественно, наиболее эффективен при сравнительно небольших значениях Далее, при четных спиноры естественным образом разбиваются на более простые объекты — редуцированные спиноры, которые оказываются наиболее важными элементами теории. При это будут знакомые нам пространства нештрихованных и штрихованных спин-векторов, каждое из которых двумерно. При выбрав в качестве соответствующей ортогональной группы группу рассмотренную в гл. 9, § 2, мы увидим, что редуцированные спиноры будут (унивалентными) твисторами и дуальными твисторами — каждое из этих пространств четырехмерно. При в фиксированной точке 2-поверхности в пространстве-времени это будут одномерные пространства скаляров со спиновым весом или —1/2 (так же как или в гл. 9, § 9). При произвольном четном размерность пространства редуцированных спиноров будет равна а размерность соответствующего пространства комбинированных (нередуцированных) спиноров есть При произвольном нечетном не существует инвариантной процедуры расщепления на более простые части и размерность спинового

пространства равна . В обоих случаях мы имеем двузначные спинорные объекты (см. т. 1, гл. 1, § 5), которые меняют свой знак при повороте на угол Группа спиновых преобразований есть двулистное накрытие соответствующей собственной группы вращений или

В данном приложении мы кратко изложим алгебраические и геометрические основы теории спиноров в -мерном пространстве. (За подробностями же отсылаем читателя к классическим работам [45, 33]; см. также [346, 347, 55, 284, 2, 178].)

Уравнение Клиффорда; у-матрицы

Обычно исходят из уравнения Клиффорда (-Дирака)

где — (комплексные) -матрицы принимает значения, указанные выше), — компоненты некоторого (действительного или комплексного) л-мерного невырожденного симметричного тензора и I — единичная матрица Вводя -мерные абстрактные индексы получаем несколько более инвариантную форму записи того же уравнения

Объект можно теперь мыслить как матрицу из элементов с абстрактными индексами, каждый из которых (из элементов) принадлежит -мерному векторному пространству (или, быть может, модулю, если мы рассматриваем спинорные поля на -многообразии) с невырожденным симметричным метрическим тензором На данном этапе мы будем считать, что — комплексное векторное пространство (или модуль), так что вопрос о сигнатуре метрики не имеет смысла. В дальнейшем мы кратко рассмотрим условия действительности и проанализируем зависимость структуры спинового пространства от выбора сигнатуры.

При полностью инвариантном подходе мы должны мыслить не как матрицу в явном виде (или набор не как матрицы

в явном виде), а как элемент (элементы) некоторой абстрактной алгебры, порождающий линейные преобразования некоторого абстрактного пространства: спинового пространства. Таким образом, при желании можно ввести (скажем, нижние греческие) абстрактные индексы и написать

где абстрактные индексы а относятся к спиновому пространству, которое является комплексным векторным пространством (или модулем в случае спинорных полей на -многообразии). Мы предположим, что алгебра, генерируемая элементами неприводима, и тогда оказывается, что имеет размерность четное) или нечетное). [Минимальный размер матриц, удовлетворяющих соотношению будет Уравнение можно теперь переписать в виде

Если в пространстве выбрать некоторый базис то в этом базисе явная реализация матрицы будет иметь вид

— базис, дуальный базису и аналогичные выражения будут справедливы для Однако обозначение или не связано с выбором определенного базиса в пространстве и с тем же успехом может использоваться, если рис — абстрактные индексы или частично разлагаются в прямую сумму абстрактных индексов («блочно-абстрактно-индексные» матрицы).

Независимо от в пространстве можно выбрать базис и дуальный ему базис который позволит нам осуществлять переход между величинами

в формуле и более абстрактными объектами в формуле

Обычно выбирают этот базис так, чтобы метрика была диагональной со значениями (Поскольку пространство комплексно, можно даже выбрать все ненулевые значения равными но так как действительный случай мы будем рассматривать позднее, на этом этапе нам будет удобнее рассматривать оба знака). Тогда уравнение будет означать, что

различные матрицы попарно антикоммутируют и квадраты их равны Алгебра Клиффорда [57] (которая может быть комплексной) есть алгебра над генерируемая величинами удовлетворяющими уравнениям е. это комплексные полиномиальные функции таких величин Элемент

алгебры представляет особый интерес. Отметим, что если — четное число, то он также антикоммутирует с каждой из величин а если — нечетное, то он коммутирует с каждой из этих величин. Более инвариантная форма записи элемента такова:

или

где мы ввели альтернирующий тензор

с нормировкой так что

где — число отрицательных значений (диагонального) тензора Отметим, что

где — «сигнатура» тензора

Рассмотрим случай, когда — нечетное, так что элемент коммутирует со всеми элементами алгебры Предположим, что для рассматриваемой алгебры выполняется условие неприводимости; тогда в силу леммы Шура элемент должен в этом случае быть пропорционален единичной матрице I:

[формула Коэффициент пропорциональности будет действительным (мнимым), если [или [в формуле допускаются оба знака].

В случае же четного антикоммутативность элемента с каждым из элементов означает, что эти элементы могут

быть представлены в виде

где причем множитель появляется, если Величины и удовлетворяют соотношениям

в силу равенства Спиновое пространство расщепляется в прямую сумму

где каждое из редуцированных спиновых пространств имеет размерность

В формуле приняты обозначения, при которых, заменив индексы и а у корневого символа индексами или или и т. д., мы получим символ проекции интересующей нас величины на соответствующее редуцированное спиновое пространство. Явный вид проекционных операторов таков:

так что в индексной форме находим выражения

[фиксировав по принятому соглашению неопределенный знак в формуле ], которые позволяют получить указанные проекции на редуцированные спиновые пространства. Имеем

Алгебра Клиффорда и формы

Полная алгебра Клиффорда образована (конечными) суммами вида

Однако в силу формулы достаточно рассматривать только антисимметризованные произведения

Например:

и аналогичные (но более сложные) выражения для произведений высших порядков. Таким образом, коэффициенты в выражении можно считать антисимметричными:

и весь ряд обрывается на слагаемом. Число формально независимых элементов алгебры Клиффорда равно полному числу независимых компонент тензоров [удовлетворяющих условию т. е.

Всякий элемент формальной алгебры можно рассматривать как набор, состоящий из -формы, 1-формы, 2-формы и т. который часто формально записывают в виде (конечной) суммы

где

[здесь индексы опускаются, вообще говоря, с помощью метрики и принято обозначение, введенное в формуле (4.3.10)]. Клиффордово умножение на выражениях [т. е. индуцированное произведениями выражений вида будет дистрибутивным (и ассоциативным), причем клиффордово произведение -формы на -форму есть линейная комбинация слагаемых, каждое из которых получается вычислением ряда сверток в тензорном произведении форм с последующей антисимметризацией остающихся индексов. [Слагаемое без сверток имеет смысл внешнего произведения (4.3.13) двух

В том случае, когда нечетное, из нашего предположения о неприводимости следует, что не все формально различные элементы алгебры Клиффорда линейно-независимы, поскольку величина [формула будет пропорциональна единичной матрице 1 [формула В самом деле, мы находим, что

где (см. т. 1, с. 322)

причем число индексов равно [индексы тензора опускаются с помощью метрики Если выполняется соотношение то мы находим, что каждая из форм равна своей дуальной форме, умноженной на ±1 или С учетом такого отождествления алгебра Клиффорда превращается в полную матричную алгебру (над С) матриц где, как

установлено выше, силу формулы Произвол в выборе знака в формуле дает два таких неэквивалентных представления, и формальная алгебра Клиффорда в точности представляется как прямая сумма этих двух матричных алгебр, если четное.

Если четное, то дополнительных отождествлений нет и полная алгебра Клиффорда может быть представлена полной матричной алгеброй -матриц (над где (как указано выше). Тем не менее полезно перейти к редуцированным спинорам, величинам вида возникающим как элементы алгебры которые проектируются в нуль при действии как слева, так и справа оператором П [или П] [формула так что они изображаются слагаемыми с нечетным числом множителей у; а также величинами вида которые также будут элементами алгебры дающими нуль при действии слева [справа] оператором П и справа [слева] оператором П, так что они даются слагаемыми с нечетным числом множителей у.