§ 8. Классификация спинора Риччи

Применим методы, изложенные в предыдущем параграфе, к случаю (бесследового спинора Риччи След тензора мы рассматривать не будем. Чтобы одновременно с Фавав рассмотреть еще и Л, потребовалось бы дальнейшее усложнение классификации. Но она и так достаточно сложна: если полностью провести изложенную выше схему, то мы придем к классификации спинора содержащей 41 тип [245]. Такое число разных типов может показаться чрезмерным, но если при создании классификационной схемы для Фавав придерживаться некоторых довольно естественных критериев (устанавливающих, как специализация спинора приводит к новым типам), то, по-видимому, невозможно без нарушения логики обойтись меньшим числом типов. Все другие существующие классификационные схемы в том или ином отношении аномальны. Упоминавшиеся критерии в общем требуют, чтобы схема была лоренц-инвариантной и обладала следующими двумя свойствами: элементы, относящиеся к каждому отдельному типу, должны образовывать связное многообразие; элементы, являющиеся общими специализациями двух разных типов, ни один из которых не состоит только из специализации другого, не должны считаться относящимися ни к одному из этих двух типов. Такие критерии, вместе с некоторыми другими, довольно расплывчатыми критериями, согласно которым определенные спиноры Флвлв «очевидным образом» должны быть отнесены к отдельным типам, по-видимому, приводят по меньшей мере к столь же подробной (в смысле числа типов) классификации как и та, что предлагается здесь. Конечно, всякий раз, когда внутри одного типа присутствуют переменные скалярные инварианты, можно неограниченно продолжать дальнейшее деление данного типа. Например, в случае тензора Вейля типа {1111} при желании можно было бы рассматривать гармонический и эквиангармонический случаи в качестве типов, отличных от общего типа. Или (менее оправданно) можно было бы считать относящимися к отдельным типам случаи с рациональными, или действительными, или алгебраическими двойными отношениями, либо те случаи, в которых удовлетворяются любые из бесконечного множества иных допустимых условий. Совершенно очевидно, что альтернативным

подходам нет конца, а критерии, на основании которых можно было бы судить о том, какая классификационная схема лучше, неизбежно в какой-то мере субъективны. Поэтому мы, желая избежать догматизма и не претендуя на последнее слово в вопросе о классификационной схеме для спинора Фавав, просто покажем, как пользоваться нашим методом и как он связан с альтернативными подходами, которые были предложены другими авторами.

Приводимость спинора

Сначала проанализируем возможные способы приведения спинора Поскольку он эрмитов, имеется семь следующих вариантов:

Здесь — эрмитовы спиноры, а все и не равны нулю и не пропорциональны друг другу. Чтобы как-то различать две возможности в случае (1,1) (1,1), мы впредь будем обозначать этим символом только первую из них, а для второй будем писать указывая тем самым на ее развернутую форму записи (1,1) (1,1), где вторая кривая комплексно-сопряжена первой. Для согласования обозначений мы также изменим соответствующим образом формы записи последних трех ненулевых типов:

Диаграмма специализаций для этих восьми типов представлена в таблице (8.8.3). В первом столбце указана действительная размерность (т. е. число степеней свободы) для каждой системы кривых в этой диаграмме; эту размерность легко найти, зная число действительных и мнимых частей независимых спинорных компонент каждого из сомножителей.

Таблица (3.8.3)

Собственные значения и собственные векторы тензора; двукратные точки локуса w

Наша классификация пока что не может претендовать на совершенство, ибо не включает в себя другие предлагавшиеся схемы, такие, как основанная на совпадении собственных значений и на размерности пространства, натянутого на собственные векторы тензора (см., например, работы [56, 198]; дальнейшие ссылки можно найти в работе [172]). Условие равенства собственных значений тензора уменьшает размерность его пространства на единицу (а не на два, как было бы в случае положительно определенной метрики — в чем мы скоро убедимся). Таким образом, чтобы усовершенствовать нашу классификацию, нужно найти подтип общего типа (2,2), суженный на одну степень свободы, так что кривая обязательно остается неприводимой. Этот подтип возникает, когда у кривой появляется узел.

Чтобы удостовериться в том, что такая связь между наличием узла у кривой и существованием кратного собственного значения у спинора в самом деле, имеется, рассмотрим сначала более общую ситуацию, возникающую при исследовании некоторой матрицы А с двумя совпадающими собственными значениями Если матрица А не предполагается симметричной, то направления соответствующих собственных векторов в исходном общем (генерическом) случае тоже совпадают. Лишь когда матрица А еще более специализирована, удается найти пару независимых собственных векторов,

соответствующих кратному собственному значению [в качестве иллюстрации см. формулу (8.3.42)]. Если же матрица А симметрична, то из требования сразу следует ортогональность Стало быть, указанный выше «генерический» случай, когда совпадают, возникает при условии, что каждый из векторов становится ортогональным самому себе, т. е. становится изотропным вектором. Итак, любой вектор, соответствующий кратному собственному значению, должен быть изотропным (при условии его единственности с точностью до коэффициента пропорциональности). Поскольку с действительно-симметричными (т. е. эрмитовыми) матрицами А такого произойти не может, в подобных ситуациях совпадение двух собственных значений приводит к еще большему уменьшению числа степеней свободы матрицы А, так что становится возможным более специальный случай, в котором у нас оказывается целая плоскость собственных векторов, принадлежащих кратному собственному значению. Если же матрица А комплексно-симметрична (как это было в случае 40, то «генерический» случай возможен-, совпадение собственных значений теперь ведет к потере лишь одной степени свободы, а соответствующий собственный вектор — изотропный. В интересующей нас ситуации тензор симметричен относительно индефинитной метрики так что изотропные векторы снова возможны и как следствие возможно возникновение «генерического» случая. (В том, что это на самом деле может произойти с легко убедиться на примере.)

Из сказанного следует, что первый (т. е. самый общий) вырожденный случай возникает, когда тензор обладает изотропным собственным вектором:

(И обратно, согласно общей теории матриц, собственный вектор может быть изотропным только в том случае, если Я — кратное собственное значение. Доказать это можно путем предельного перехода, рассмотрев сначала невырожденный случай.) Представив так, как это сделано в формуле (8.7.5), мы получим что можно переписать в виде

Сравнение с формулами (8.7.28) — (8.7.30) показывает, что представленная спинором точка комплексификации должна быть кратной точкой кривой т. е. в самом общем случае это должен быть узел. Но в наиболее общем случае у этой кривой может быть только один узел, а значит, точка должна быть действительной (т. е. ) и в формуле (8.8.5) можно положить

В случае действительных узлов возможны два варианта: один, когда две ветви кривой в в точке обладают действительными касательными, и второй, когда две ветви имеют комплексно-сопряженные касательные. В последнем случае есть изолированная двойная точка кривой Примером изолированной двойной точки может служить точечная окружность, рассмотренная нами ранее в связи с анализом действительного изотропного вектора Если, как и в формуле (8.7.31), определить комплексное число а и действительное число соотношениями

чтобы сравнение с формулой (8.7.31) давало]

то из формулы (8.7.32) явствует, что условие действительности ветвей в узле [т. е. решений уравнения (8.7.32) с имеет вид

а условие его изолированности таково:

Согласно формуле (8.7.33), узел выродится в точку возврата (или в точку соприкосновения, или в точку еще более специального типа), если

Чтобы выяснить, каков смысл этих условий в плане структуры собственных значений тензора предположим, что а есть собственный вектор тензора принадлежащий двукратному собственному значению А., собственными векторами для которого могут служить только векторы, кратные и что два оставшихся собственных вектора лежат в действительной пространственноподобной плоскости П, ортогональной вектору Плоскость П совпадает с пучком векторов

где — действительные величины, а спинор фиксируется единственным образом за счет масштаба спинора равенством

[Два вектора в скобках в формуле (8.8.10) — это ортогональные пространственноподобные единичные векторы, которые

ортогональны также и вектору Если два вектора из пучка (8.8.10), соответствующие значениям и , то из формулы (8.8.6) следует, что

Матрицей ) в формуле (8.8.12) определяется в переменных и и линейное преобразование в плоскости П, индуцированное тензором . В самом деле, если вектор то его -представление (как явствует из сравнения со скалярным произведением уауа должно в окончательном виде записываться в форме присутствующего в формуле (8.8.12) произведения: (окончательная -столбец). Собственные значения этой матрицы, которые, как легко видеть, равны должны быть равны тем двум собственным значениям и тензора которые принадлежат собственным векторам в плоскости П. Далее из формулы (8.8.6) следует, что есть (двукратное) собственное значение есть (двукратное) собственное значение принадлежащее двукратному собственному вектору так что

Точка возврата

Отсюда следует, что условие (8.8.9) существования точки возврата (или точки более специального типа) говорит о тройном совпадении собственных значений или Однако в самом общем случае, а именно в случае точки возврата, оказывается, что собственными векторами, принадлежащими трехкратному собственному значению могут быть только векторы, кратные Единственными оставшимися собственными векторами являются векторы, принадлежащие простому собственному значению Следовательно, в данном случае не существует определенной выше пространственноподобной плоскости П. (Она становится изотропной плоскостью, содержащей вектор Вместо этого мы имеем изотропный собственный вектор и ортогональный ему пространственноподобный собственный вектор Общая форма, к которой приводится тензор когда на кривой имеется точка

возврата, соответствующая изотропному вектору такова:

где - еще один пространственноподобный вектор, ортогональный как вектору так и вектору .

Точка соприкосновения

Чтобы получить условие существования дальнейшей специализации точки возврата, можно воспользоваться формулой (8.7.35) [вместе с (8.7.27)], положив

[ср. с формулой (8.8.9) ]. Что-то новое дает только полностью симметричная часть выражения (8.7.35). После некоторых выкладок мы с помощью предложения (3.5.15) придем к следующему условию существования (как минимум) точки соприкосновения:

Свернув обе части равенства (8.8.16) с мы сразу же убедимся, что в нем неявно содержится условие (8.8.9). О величинах достаточно лишь знать, что они не могут обе быть равны нулю, ибо их отношение определяется сверткой с Но при наличии точки соприкосновения кривая в должна вырождаться в две окружности; из формулы (8.8.1) [тип (1,1) (1,1) или следует, что Фавав имеет вид

где действительны согласно приводимой ниже формуле (8.8.22), пространственноподобны]. Соприкосновение этих окружностей, если они действительны, определяется условием

а в случае комплексно-сопряженных окружностей — условием

[при соответствующем выборе масштаба для двух множителей в формуле где

Предположим, что , стало быть подходит верхний знак. (В противоположном случае можно провести те же рассуждения для Собственными векторами тензора принадлежащими трехкратному собственному значению являются

все векторы, ортогональные и вектору и вектору (или ) (двумерное пространство), тогда как собственные векторы, принадлежащие простому собственному значению кратны вектору

Вместо (8.8.17) может оказаться более удобной тензорная форма, напоминающая (8.8.14):

где

а масштаб спинора выбран так, что

Пропорциональность вектора этим выражениям следует из формул (8.8.18) и Верхний знак в формуле (8.8.21) относится к первым из этих выражений для а нижний — ко вторым. Векторы и как и требуется, удовлетворяют условиям

что следует из соотношений

вытекающих из формул (8.8.18) — (8.8.20). Пользуясь этими соотношениями, выражение (8.8.21) можно без труда вывести из формулы (8.8.17).

Поскольку в рассматриваемом здесь случае точки соприкосновения, кроме снова имеется пространственноподобная 2-плоскость собственных векторов, все, о чем говорилось в связи с формулами (8.8.10) — (8.8.12), остается в силе, чего нет в случае точки возврата. Следовательно, специализация (8.8.9) в формуле (8.8.12), приводя к трехкратному собственному значению, дает нам более специальный случай точки соприкосновения, а не точку возврата.

Типы узлов

Возвращаясь снова к общему случаю узла, заметим, что условие изолированности узла (8.8.8), выраженное через собственные значения (8.8.12), соответствует требованию, чтобы двукратное собственное значение находилось вне интервала, ограниченного двумя простыми собственными значениями, т. е.

Условие же (8.8.7) существования в узле двух действительных ветвей соответствует требованию, чтобы двукратное собственное значение лежало в интервале между простыми собственными значениями, т. е.

Отметим, что при имеет место иное, дополнительное совпадение собственных значений, а именно Если теперь обратиться к формуле (8.8.6), то окажется, что это ведет к условию

из которого следует, что имеет вид

( — некоторый эрмитовый спинор), так что кривая в относится к типу или к более специальному типу.

Мы видим, что наша схема специализаций снова перескочила через некоторые случаи, на этот раз через узлы типа (1,1) (1,1) и Причиной этого является возникновение дополнительных собственных векторов, а не новые совпадения собственных векторов. В такой ситуации, как и в случае точки соприкосновения, остается справедливой формула (8.8.17), но перестают быть верными формулы (8.8.18) и (8.8.19). Существует двумерное пространство собственных векторов, ортогональных векторам которое натянуто на указанные два узла, и есть два отдельных собственных вектора, являющихся линейными комбинациями векторов и (или ). В зависимости от того, являются ли эти собственные векторы пространственноподобными или времениподобными, действительными или комплексными, возникает много разных возможностей.

Разные «категории» в пределах одного типа

В наши планы сейчас не входит сколько-нибудь подробный анализ всех конкретных частных случаев. Но все же укажем, что даже общий случай типа (2,2), в котором у кривой в нет кратных точек, нуждается в дальнейшем разбиении, если продолжать придерживаться нашего требования, чтобы всякий тип образовал связное многообразие. Следовательно, нужно разбить типы на связные «категории» с той же размерностью. (Специализация же типов всегда приводит к типам низшей размерности.)

В общем случае, когда все собственные значения различны и действительны, одно из них, скажем должно соответствовать времениподобному собственному вектору, а три других, пространственноподобным собственным векторам. (Это связано с тем, что все собственные векторы, в рассматриваемых случаях действительные, взаимно ортогональны.) Рассмотренные выше частные случаи возникают как предельные состояния такого рода общих случаев, когда совпадает с одним из оставшихся собственных значений. (Поскольку в случае действительных собственных векторов только при совпадении времениподобного и пространственноподобного собственных векторов в качестве предельного может появиться изотропный собственный вектор.)

Итак, возможны четыре существенно различающихся варианта четырех неодинаковых действительных собственных значений, а именно: может быть наибольшим из них, вторым по величине, третьим и, наконец, наименьшим. Каждый из этих четырех возможных вариантов дает отдельную категорию; чтобы непрерывным образом перейти от одной категории к другой, необходимо пройти через вырожденный случай, соответствующий одному из более специальных типов, скажем наличию узла у кривой о (см. выше), хотя, как оказывается, такой переход возможен лишь при условии, что на некоторой стадии у кривой о возникает сразу два узла, а это означает, что кривая о либо относится к типу (1,1) (1,1) или либо к еще более специальному типу.

Этим четырем подслучаям типа (2,2) отвечают определенные конфигурации кривой на сфере Когда является наибольшим собственным значением, имеет место следующее свойство положительной определенности:

с приводимыми ниже неравенствами (8.8.33) и (8.8.34)]. В этой ситуации локус пуст и вся сфера окрашена в белый цвет (см. конец § 7).

Когда второе по величине собственное значение, можно показать, что локус состоит из двух отдельных петель, внутренние области которых окрашены в черный цвет, тогда как кольцевая область, расположенная между ними, белая. Когда третье по величине собственное значение, опять состоит из двух петель, но цвет областей теперь противоположен только что указанному. Когда же ко — наименьшее собственное значение, локус пуст и вся сфера черная.

Вообще говоря, кривая может представлять собой и одну петлю. Тогда одна часть сферы будет черной, а другая — белой. В этом случае не существует действительной ортонормированной собственной тетрады тензора Два собственных значения действительны и соответствуют двум пространственноподобным собственным векторам; два оставшихся собственных значения — сопряженные комплексные и соответствуют паре комплексно-сопряженных собственных векторов. Это — единственная оставшаяся возможность для неособого типа (2,2), так что всего мы имеем пять несвязных категорий.

Особые случаи типа (2,2) тоже допускают дальнейшее разбиение и дают еще восемь категорий. Две категории возникают, когда локус имеет точку возврата с альтернативными чередованиями белого и черного цветов по отношению к ней. В шести оставшихся категориях локус имеет узел. Две из этих категорий появляются, когда в узле есть действительные ветви, а четыре других — когда он изолирован. Они различаются окраской, а также наличием и отсутствием петли в дополнение к изолированной двойной точке. Все эти различные случаи можно отделить один от другого, анализируя свойства соответствующих собственных значений и векторов, но мы не будем здесь на этом останавливаться.

Многие случаи, когда кривая приводима, тоже допускают разбиение на подклассы и различные категории. Например, в случае (1,1) (1,1) локус состоит из двух отдельных окружностей, каждая из которых может иметь действительный или мнимый радиус в зависимости от того, пространственноподобны или времениподобны соответствующие действительные векторы выражении

Эти окружности пересекаются в двух различных действительных или сопряженных комплексных точках (в зависимости от того, какая плоскость натянута на — времениподобная

или пространственноподобная), а в более специальных ситуациях (с более низкой размерностью) эти окружности, как мы видели, могут касаться друг друга (когда на векторы натянута изотропная плоскость; при этом кривая имеет в точке контакта точку соприкосновения). Таким образом, исходный (генерический) случай (1,1) (1,1) разбивается на ряд различных категорий — всего их шесть (с учетом цвета). Во всех этих категориях у кривой имеются два разных узла (точки пересечения двух окружностей). В случае точки соприкосновения радиусы окружностей действительны и присутствуют оба цвета.

Случай также разделяется на (четыре) категории (которые различаются соотношениями цветов, а также тем, каковы узлы; действительные и изолированные или сопряженные комплексные). Специальный случай типа снова разделяется (на две категории) из-за наличия точки соприкосновения.

В заключение особо отметим случай Здесь опять генерический тип подразделяется на (четыре) категории. Но имеет место еще и частный случай, который возникает, когда точка пересечения пары линий (которая изначально является изолированной двойной точкой) лежит на окружности (1,1) (и становится трехкратной точкой с одной действительной и двумя сопряженными комплексными ветвями). Исследование только множества действительных точек локуса Ко не позволило бы узнать даже о существовании в рассматриваемом случае тройной точки.

Полная классификация и схема специализации

Полная схема типов и их специализаций дана в работе [244]. В целом она довольно сложна, но ее сравнительно просто воспроизвести, если, конечно, не упускать из виду, что кратности кратных точек при специализации не могут уменьшаться и что кратными (с четными кратностями) могут быть только те куски кривой которые при специализации могут возникать разрывным образом.

В таблице (8.2.25) приведены различные возможные типы кривой о вместе с соответствующей характеристикой Сегрэ

Таблица (8.8.25) (см. скан)

для тензора но без учета расщепления тех или иных классов на различные категории одной и той же степени общности (которое могло бы проявиться в различном упорядочении собственных значений и в различии действительной (вещественной) структуры. Соответствующая схема специализации дана в таблице (8.8.26). (Обозначения, введенные в формуле (8.8.1), появляются снова в связи с тем, что эрмитова структура сомножителей теперь включена в разбиение на категории.)