Твисторная форма теоремы Керра

Теперь переведем этот результат на язык твисторов. Определим (дуальный) твистор соотношением

[формула (6.1.22)]. С учетом равенств (7.4.1) и (7.4.4) получаем компоненты твистора (относительно фиксированного начала отсчета и заданной спиновой системы отсчета) в виде

Если учесть формулу (6.1.26), то выражением (7.4.9) гарантируется, что точка Р с координатами лежит на -плоскости Напомним: -плоскость есть геометрическое место точек в в которых обращается в нуль главная часть твистора (см. гл. 6, § 2, 81 и гл. 9, § 3). Эта комллексная 2-плоскость определяет твистор с точностью до множителя. Если координаты действительны, то твистору отвечает действительная изотропная линия проходящая через точку Р в направлении флагштока спинора

Заметим, что аргументы функции в формуле (-это по существу компоненты твистора . В самом деле, уравнение (7.4.7) можно переписать в виде

Мы можем избавиться от нормировки для Твистора [которая подразумевается в формуле (7.4.4): заменив однородной голоморфной функцией твистора

где целое число (степень однородности функции мы можем выбирать по своему усмотрению. Уравнение (7.4.11) теоремы Керра напишется в виде

Как мы уже видели, это означает, что поле спин-векторов аналитично и образует БСК. Но направление флагштока

спинора совпадает с направлением светового луча проходящего через точку Р. Отметим также, что ввиду геодезичности БСК флагшток спинора будет касательным к лучу в каждой точке. Изотропными твисторами, удовлетворяющими условию определяется конгруэнция лучей которая совпадает с исходной БСК. Таким образом, получаем твисторную формулировку теоремы Керра.

Теорема

В общем случае аналитической БСК. в М такая БСК есть система лучей в М, локально определяемая изотропными твисторами удовлетворяющими уравнению где — произвольная голоморфная однородная функция твистора

Существуют и другие, «более геометрические» (бескоорди-натные) доказательства этой теоремы. Одно из них основано на предложении (7.3.18). Всякая -плоскость есть множество точек, радиус-векторы которых представимы в виде где и те же, что и в формуле (7.4.9), а спинор играет роль переменного параметра. Касательные векторы записываются в виде при тех же значениях а следовательно, есть комплексная 2-поверхность, которая определена в предложении (7.3.18). Как указано в (7.3.18), условием аналитичности БСК будет существование голоморфного 2-параметрического семейства этих 2-плоскостей, такого, что векторы вида касательны к ним при всех значениях Поскольку всякая -плоскость определяется твистором фиксированным с точностью до множителя, можно задать голоморфное 2-парамет-рическое семейство -плоскостей с помощью 3-параметриче-ского семейства (дуальных) твисторов инвариантного относительно преобразования Очевидно, что такое 3-параметрическое семейство можно получить, приравняв нулю однородную голоморфную функцию