Определение локального твистора

Существенное различие между локальными и глобальными твисторами состоит в том, что глобальный твистор определен сразу во всем пространстве-времени (как решение твисторного уравнения) и зависимость от точек здесь несущественна, в то время как локальный твистор определен только как функция точек пространства . В каждой точке пространства-времени определено локальное комплексно-четырехмерное твисторное пространство, причем твисторные пространства в разных точках полностью независимы, если не считать требований непрерывности и дифференцируемости. Таким образом, пространство локальных твисторов есть (комплексно-четырехмерное) векторное расслоение над пространством-временем а не просто комплексно-четырехмерное векторное пространство. (Можно также рассматривать поля локальных твисторов как сечения этого расслоения, определенные стандартным способом.) Следовательно, на основе локальных твисторов нельзя построить формализм для некоего альтернативного описания физических явлений, в котором понятие точки пространства-времени не рассматривалось бы как фундаментальное, что было одной из главных целей при построении теории глобальных твисторов. (Для этих целей могут оказаться пригодными асимптотические твисторы в искривленном пространстве-времени, которые мы кратко рассмотрим в конце гл. 9, § 8. Определение асимптотического твистора опирается на понятие локального твистора. См. также определение твисторных 2-поверхностей в гл. 9, § 9.) Однако формализм локальных твисторов дает нам исчисление, удобное для анализа конформной геометрии произвольного многообразия пространства-времени Необходимые для этого понятия в принципе были введены в работах Картана [43, 44]; см. также [349, 265].)

Пусть точка Р принадлежит пространству с метрическим тензором Локальный твистор в точке Р есть пара спиноров в точке Р (мы подчеркиваем, что это именно спиноры, взятые в фиксированной точке, а не спинорные поля). Мы требуем, чтобы при конформных преобразованиях компоненты новой пары выражались через компоненты исходной пары по формулам (6.1.75), и пишем

Дополнительно потребуем, чтобы формулы перехода имели вид

Таким образом, спинор характеризуется определенным конформным весом (равным нулю), а величина преобразуется по более сложному закону. Если считать, что для заданного твистора пара сол и -это не просто спиноры, вычисленные в фиксированной точке, но величины, которые обладают функциональной зависимостью от метрики то мы можем опустить символы и § над знаком равенства в формуле (6.9.5) и писать, как обычно,

Пространство всех локальных твисторов есть векторное расслоение, образуемое совокупностью твисторов взятых во всех точках Р. Слой над точкой Р есть комплексно-четырехмерное векторное пространство — пространство локальных твисторов в точке Р.