§ 6. Производные Ли спиноров

В существовании конформного вектора Киллинга в пространстве-времени находит выражение то обстоятельство, что допускает непрерывные движения (сейчас мы не учитываем глобальные аспекты), при которых остается неизменной структура изотропных конусов (т. е. конформная структура). В обычном тензорном анализе существует понятие «переноса» вектора или тензора по отношению к произвольному векторному полю Локально правило переноса определяется так, чтобы производная Ли вдоль поля была равна нулю. Эту операцию можно обобщить на спиноры, но здесь следует потребовать, чтобы поле было конформным вектором Киллинга. В противном случае изотропный вектор (а следовательно, изотропный флаг) будет при переносе «оторван от изотропного конуса». Требование, чтобы поле было конформным вектором Киллинга, означает, что движение переводит изотропные конусы в себя, а в этом случае имеет смысл и понятие переноса спинора. Рассмотрим теперь формальную сторону этой задачи. (Мы считаем, что поле выбрано действительным.)

Чтобы найти результат действия оператора на спин-вектор рассмотрим действие этого оператора на (комплексный) бивектор Из получаем

Если потребовать, чтобы оператор формально обладал свойствами оператора дифференцирования (правило Лейбница!), то из (6.6.1) следует

Выполняя антисимметризацию по индексам А, В и переобозначая немые индексы, находим

Это равенство должно выполняться при всех значениях а потому имеем [формула (3.3.23)]

т. е. поле должно быть конформным вектором Киллинга, как и предполагалось.

Далее, сворачивая (6.6,2) с , находим

где А определяется из уравнения

которое получается с учетом косой симметрии спинора по индексам А, В. В силу предложения (3.5.15) формула (6.6.4) дает

где

Применяя обычные правила продолжения оператора дифференцирования к пространству всех спиноров [а также аналогичную формулу для тензоров (4.3.3)], мы получаем формулу для производной Ли спинора общего вида

В частном случае, когда мы получаем с помощью

т. е. [в силу формулы (6.6.7)]

Этот же результат можно получить из тензорного выражения для пользуясь соотношением

Отметим, что равенство (6.6,9) фиксирует лишь действительную часть множителя Формальный анализ, проведенный выше, не позволяет однозначно определить мнимую часть множителя А, по заданному конформному вектору Киллинга С геометрической точки зрения естественно выбрать мнимую часть множителя А, равной нулю. Аргументация целесообразности такого выбора по существу совпадает с той, которая дана в гл. 5, § 6, и приводит к формуле (5.6.2). Там множитель был выбран действительным с тем, чтобы геометрическая интерпретация спин-вектора была конформно-инвариантной. Те же соображения имеют силу и в данном случае. Выбор действительного множителя А, в формуле (6.6.5) гарантирует, что спинор будет «удлиняться», приобретая действительный множитель (соответствующий действительной величине при переносе его вдоль векторного поля В некоторых случаях удобнее отказаться от такого «геметрически естественного» ограничения, но здесь мы временно принимаем его. Тогда из (6.6.9) следует, что

Подставляя это выражение в (6.6.7), получаем три альтернативные формулы, позволяющие выразить через

В качестве проверки можно сравнить результат действия оператора на вектор вычисленный по формуле (6.6.8), со стандартным выражением (4.3.2). Чтобы оба метода приводили к одному и тому же выражению, должно выполняться равенство

Подставляя сюда, скажем, третье выражение (6.6.11), получаем равенство, справедливость которого сразу не очевидна, но становится несомненной, если поднять индексы и рассмотреть его компоненты

по отдельности [последняя дает нуль в правой части равенства в силу формулы (6.6.3)].