§ 5. Геометрия и симметрия вейлевской кривизны

В данном параграфе мы рассмотрим геометрию бивекторной структуры (имеются в виду собственные бивекторы) тензора Вейля (или спинорной — в смысле собственных спиноров — структуры спинора Вейля в ее связи с ГГИН), а результатами этого анализа затем воспользуемся для исследования дискретных симметрий вейлевской кривизны в случае типа {1111}. Кроме того, мы с помощью более прямых методов исследуем симметрии и в случае других типов. В дополнение к этому для сравнения проведем соответствующее обсуждение классификации тензора Максвелла.

Особые плоскости направления для типа {1111}

Как мы выяснили, базисные собственные бивекторы (8.4.6) и (8.4.7) тензора Вейля встречаются в виде антисамодуальных-самодуальных пар. Каждой такой парой в точке Р определяется пара вполне ортогональных плоскостей, проходящих через начало отсчета касательного пространства, построенного в Р. Эти плоскости характеризуются двумя простыми действительными бивекторами, представляющими собой линейные комбинации рассматриваемых пар собственных бивекторов. Одна из этих плоскостей времениподобна и может быть альтернативно охарактеризована (и это проще) как плоскость, натянутая на два ГИН соответствующего собственного спинора спинора Вейля Вторая плоскость пространственноподобна и является ортогональным дополнением первой. Чтобы сказанное стало яснее, предположим, что есть собственный спинор, а соответствующий самодуальный собственный бивектор. Действительный бивектор

(где у — некоторый комплексный коэффициент) будет простым [см. формулу (3.5.30) и все, что о ней говорится] в том и только том случае, когда выражение действительно, что следует непосредственно из формул (8.5.1), (3.4.22) и критерия (3.5.35. II). Легко видеть, что при выполнении этого условия имеет место либо равенство либо равенство у — галфл (это верно с точностью до не равных нулю действительных

коэффициентов, которыми мы здесь пренебрегаем). В обоих случаях можно записать в форме

где при мы имеем

а при

Простой бивектор (8.5.2) можно рассматривать как характеристику плоскости векторов В случае (8.5.3а) он характеризует времениподобную плоскость, натянутую на ГИН спинора в случае же (8.5.36) он характеризует пространственноподобную плоскость, натянутую на два вектора, которые ортогональны обоим ГИН спинора (что легко проверить). Заметим, что два простых бивектора, о которых только что шла речь, - дуальны друг другу, поскольку соответствующие коэффициенты у в формуле (8.5.1) различаются мнимым множителем [формула (3.4.22)].

Если применить эти результаты к спинору (или тензору) Вейля типа то выяснится, что три собственных спинора спинора дают три пары вполне ортогональных плоскостей. Фактически все шесть этих «собственных плоскостей» ортогональны друг другу, что следует из ортогональности собственных спиноров, соответствующих различным собственным значениям, и следующей отсюда ортогональности соответствующих простых бивекторов; например, ортогональность бивекторов означает, что Отсюда следует существование пары не равных нулю коэффициентов таких, что вектор ортогонален векторам (т. е. ), для которых выполняется условие

Теперь мы покажем, что шесть собственных плоскостей пересекаются по четырем действительным прямым, обладающим характеристиками тетрады Минковского. Четыре определенных таким образом направления называются главными римановыми направлениями тензора Как и должно быть, они находятся в определенном отношении к главным изотропным направлениям Чтобы доказать это, сначала покажем, что всякая собственная плоскость пересекается с любой другой собственной плоскостью V, кроме ее собственного ортогонального дополнения по прямой. Итак, плоскость содержит вектор ортогональный плоскости V, которая является дополнением плоскости V. Но V содержит все векторы, ортогональные плоскости V, а значит, и вектор Поскольку же и V проходят через

начало, они пересекаются вдоль Рассмотрим следующие две пары вполне ортогональных собственных плоскостей: . Они пересекаются по четырем прямым: Любые две из этих прямых взаимно ортогональны, ибо одна из них всегда относится к собственной плоскости, а вторая — к соответствующему дополнению. Две оставшиеся собственные плоскости и пересекаются с каждой из четырех остальных, а значит, должны пересекаться с ними вдоль прямых соответственно (в чем легко убедиться, выбрав эти направления в качестве базиса и рассмотрев векторы, на которые натянута плоскость или Таким образом, как и утверждалось, существуют в точности четыре линии пересечения шести собственных плоскостей и все они взаимно ортогональны. Так как они находятся в пространстве Минковского, три из них должны быть пространственноподобными, а одна — времениподобной. Ясно, что последняя прямая является линией пересечения трех времениподобных собственных плоскостей.

Можно также представить собственные плоскости как линии в проективном 3-пространстве направлений, проходящих через начало. Конфигурацию, образуемую плоскостями , можно представить в виде асимметричного четырехсторонника, противолежащие ребра которого, представляя дополнительные плоскости, не могут иметь общих точек (так как плоскости не имеют общих линий). Плоскости и представляются двумя новыми линиями, каждая из которых пересекается со всеми четырьмя старыми прямыми. Очевидно, что плоскости и должны соответствовать диагоналям четырехсторонника и не должно возникнуть ни одной новой точки (линии) пересечения. В целом шесть собственных плоскостей соответствуют ребрам тетраэдра (рис. 8.4), противолежащие ребра которого являются

Рис. 8.4. В проективном 3-пространстве направлений, проходящих через начало отсчета, собственные плоскости тензора Саьсл представляются ребрами тетраэдра, вершины которого соответствуют римановым главным направлениям. [Не следует путать этот тетраэдр с изображенным на рис. 8.5. Вершины первого отвечают трем осям и второго и времениподобному направлению, задающему собственную (покоящуюся) систему отсчета.]

ортогонально дополнительными, а вершины дают направления осей.

Теперь легко убедиться, что определенные выше главные римановы направления совпадают с тетрадой Минковского, по отношению к которой вычислялась (в неявном виде) форма Петрова (8.4.22.1) тензора

Из этой формы следуют определенные дискретные симметрии тензора Саьы типа а именно такие (сохраняющие ориентацию) отражения, которые обращают две (и только две) пространственные оси. Форма (8.4.22.1) дает конпоненты, обладающие свойством

из которого видно, что при обращении двух и только двух осей и неизменности остальных все компоненты тензора остаются без изменений.