Некоторые физически интересные случаи; триальность

Мы уже рассмотрели лоренцевы 2-спиноры, твисторы и функции со спиновым весом ±1/2 на пространственноподобных 2-поверхностях как примеры общей процедуры для случаев и 2, соответственно. Но при этом мало что было сказано (непосредственно) о дираковских 4-спинорах, которые являются неприводимыми спинорами при (и при Они, разумеется, также подпадают под нашу общую схему и даже находят больше явных приложений в литературе, чем редуцированные лоренцевы 2-спиноры, которые составили основную тему двух томов. То, что мы не стали рассматривать дираковские 4-спиноры, связано до некоторой степени с практическими соображениями, так как редуцированные спиноры имеют в этом случае простой вид и оказываются исключительно простыми и эффективными в обращении. Два-спинорный формализм легко позволяет исключить все тензорные индексы, и -матрицы вместе с довольно сложными тождествами, которым они удовлетворяют (формулы следа и т. просто «улетучиваются». В явном виде (см. т. 1, с. 275) можно написать

где обычно обозначают через кроме того, мы имеем

Как правило, вычисления оказываются намного проще в 2-спи-норном формализме, чем с использованием уматриц, особенно если имеется большое количество выражений, содержащих (См., например, как упрощаются вычисления в квантовой хромодинамике

Спиноры также находят приложение в теории относительности при так как соответствующий формализм непосредственно используется в теории пространственноподобных гиперповерхностей или времениподобных гиперповерхностей Выбирая в качестве нормали к такой гиперповерхности вектор (нормированный так, что иаиа с учетом изложенного ранее [формулы мы можем использовать величины чтобы ввести

вместо всех штрихованных индексов нештрихованные. Это приводит к удобной системе исчисления, которая использовалась рядом авторов [318, 311]. (Подобная же процедура использовалась также нами в связи с доказательством Виттена положительности массы; см. гл. 9, § 10.)

Особенно интересная ситуация, которая, по-видимому, имеет отношение к физике, дается случаем (и когда либо либо поскольку тогда все три пространства замечательным образом оказываются равноправными. Оба тензора симметричны [формула и входят в теорию наравне с метрическим тензором Таким образом, мы можем рассматривать пространства и как «нештрихованное» и «штрихованное» редуцированные спиновые пространства для с метрикой либо и как «нештрихованное» и «штрихованное» спиновые пространства для Возникающую здесь удивительную дополнительную симметрию называют принципом триальности для групп Отметим, что в силу формулы фундаментальные спиноры пространств соответствуют в рамках этой симметрии изотропным векторам пространства Если говорить о гиперповерхности то это означает, что семейства а-плоскостей на -плоскостей на и точек могут рассматриваться как равноправные. Свойство инцидентности для точки (принадлежать -плоскости) в рамках этой симметрии отвечает свойству инцидентности для -плоскости (пересекать -плоскость максимальным образом, т. е. по 2-пространству). В случае группы эти а-плоскости, -плоскости и точки все будут мнимыми, но симметрия между ними тем не менее существует и проявляется как симметрия между неизотропными (нефундаментальными) элементами. (Подробнее см. в работах [2, 55].)

Величина

теперь будет симметричной по отношению ко всем трем типам индексов. Она удовлетворяет тождеству

и другим, полученным из него перестановкой индексов различных типов. Существует связь между этими величинами и алгеброй октанионов (числа Келли). Ее можно получить, фиксировав в двух из трех пространств единичные элементы, скажем

определив третий соотношением

и затем используя величины

и метрические объекты для перехода между различными типами индексов. С помощью этих величин мы получаем из объекты , от которых можно перейти к величинам , удовлетворяющим правилам умножения алгебры Келли на Тождество обеспечивает в этом случае выполнение всех необходимых алгебраических свойств [например, что соответствует свойству «альтернативности» умножения:

В связи с изложенным отметим, что существует определенная связь между группами и теорией твисторов. Рассмотрим пары твисторов, каждая из которых состоит из -твистора:

Метрика на пространстве таких объектов определяется отображением

а комплексное сопряжение определяется так:

Сигнатура билинейной формы равна так что изложенная теория оказывается пригодной в этом случае. (Условие «изотропности» совпадает здесь со свойством амбитвисторов , см. примечание на с. 198.)