Пространство твисторов

Как и решения всех (комплексных) линейных дифференциальных уравнений, решения твисторного уравнения образуют векторное пространство над комплексными числами со стандартными правилами сложения и умножения на скаляр. В случае линейных уравнений общего вида это пространство часто оказывается бесконечномерным. В нашем же случае из уравнения (6.1.10) следует, что решения твисторного уравнения полностью определяются четырьмя комплексными числами — значениями компонент полей и в спинорном базисе в точке О. Следовательно, такие решения образуют четырехмерное векторное пространство над полем комплексных чисел, называемое пространством твисторов (его действительная размерность равна, очевидно, восьми). Элементы пространства твисторов назовем -твисторами и будем обозначать «рублеными» заглавными корневыми буквами с (четырехмерными) строчными греческими абстрактными индексами, например Если этот символ означает определенное решение уравнения (6.1.1), то мы пишем

Умножение на комплексное число и сложение твисторов определяются очевидным образом:

Из -твисторов можно сконструировать твисторы произвольной валентности пользуясь обычными правилами построения тензорных объектов, изложенными в гл. 2.

Используя абстрактные индексы, мы получаем копии пространства а также пространства Но оказывается, что твисторы высшей валентности, вообще говоря, не могут быть представлены одним спинорным полем. Чтобы сделать более последовательной и более простой в обращении алгебру твисторов высшей валентности в спинорном представлении, гораздо удобнее описывать двумя полями , а не одним полем . В этом случае вместо равенства (6.1.11)

мы пишем

где и связаны между собой соотношением (6.1.9) [или, что эквивалентно, равенствами (6.1.10)]. В отличие от (6.1.11) представление (6.1.13) не является конформно-инвариантным (см., однако, § 9).

Поскольку поле полностью определяется постоянными спинорами [формулы (6.1.9) и (6.1.10)], мы можем представить его, а следовательно, и поле значениями спинорных полей в точке О. В этом случае мы записываем

где символ напоминает, что соответствие (6.1.14) не является пуанкаре-инвариантным, но зависит от выбора начала координат О в пространстве-времени. Иногда мы будем использовать обозначения

где могут быть либо спинорными полями [представление (6.1.13)], либо спинорами в точке О [представление (6.1.14)]. В обоих случаях они называются «спинорными частями» тви-стора («в точке О»). В силу соотношений (6.1.14) и (6.1.10) имеем

Пространство можно было бы рассматривать (такой подход не был бы пуанкаре-инвариантным) как прямую сумму пространств спиноров типа и в О. (Напомним, что комплексное векторное пространство спиноров с индексом типа взятых в точке Р.) Тогда индекс а в символе должен был бы рассматриваться как некоторого рода прямая сумма абстрактных индексов А и А, взятых в верхней и нижней позиции соответственно (отметим, что такая процедура полностью отлична от образования собирательного индекса в гл. 2, § 2). На практике можно считать, что индекс а принимает два «значения»: . С этой точки зрения индекс а оказывается чем-то промежуточным между абстрактным

индексом и индексом, принимающим численные значения. Поскольку «компоненты» (6.1.15), соответствующие двум «значениям» А и А индекса а, изменяются при сдвиге начала координат [формула (6.1.10)], мы предпочитаем отказаться от такого подхода.

Выбрав некоторую спиновую систему отсчета в точке О, можно построить твисторный базис следующим образом:

Линейная независимость этих твисторов очевидна. Далее, поскольку

из соотношений (6.1.12), (6.1.16) и (6.1.17) следует, что

где

Отсюда и из (6.1.15) мы получаем следующие явные выражения:

Таким образом, можно непротиворечиво рассматривать либо как 0, 1-компоненты твистора либо как компоненты спинорной части твистора в точке О. В дальнейшем (если специально не оговаривается) будем считать, что спинорные части произвольного твистора всегда вычисляются в начале координат.