Момент импульса на J+

Теперь проанализируем форму той части выражения (9.9.35), которая описывает момент импульса. Взяв для простоты воспользовавшись формулами (9.8.83), (9.9.36) (1) и выполнив интегрирование по частям, получим

Коэффициент при является спин-весовой сферической гармоникой с его линейная оболочка дает все такие гармоники. В этом конкретном отношении выражение (9.8.82) тождественно всем остальным выражениям, предложенным ранее. Но коэффициент во втором члене есть нечто новое, поскольку он имеет более сложную угловую структуру, которая зависит от точного вида решений уравнения (9.9.36) (2). (Более ранние исследования см. в работах [332, 31, 32, 191, 287, 324, 371, 105].)

Чтобы лучше понять все это, рассмотрим представление решений уравнений (9.9.36), основанное на «потенциале» величины а. Поскольку величина о имеет спиновый вес, равный 2, из сказанного в т. 1, гл. 4, § 15 [формула (4.15.60)] следует, что уравнение

всегда имеет решение на а кроме того конформно-инвариант-но на сфере [формула (4.15.32)], где к считается конформной плотностью с весом 1. В выборе величины к (со спин-весом 1), удовлетворяющей уравнению (9.9.83), имеется некоторый произвол: можно добавить слагаемое, содержащее только гармоники с или (четырехмерная свобода). Кроме того, конформную плотность к можно выбрать так, чтобы она была действительной в том и только в том случае, если а является чисто электрической величиной [формулы (9.8.92), (9.8.93)] [219], т. е. если поверхность 9 неконтортна.

Теперь допустим, что удовлетворяет соотношению [формула (9.9.36) (1)]. Как мы уже знаем, следствием этого будет соотношение [формула (9.9.38)]. Таким образом, можно решить уравнение (формула (9.9.36) (2)), положив

где

и имеет спиновый вес, равный 1/2. Следовательно, уравнение (9.9.85) имеет два решения [формула (4.15.60)], что при любом выборе величины дает необходимую свободу в величине Если подставить выражение (9.9.84) в формулу (9.9.82), то эта свобода по приводит в точности к тому типу свободы, который мы и ожидали: при всяком смещении начала, относительно которого берется момент импульса, к моменту импульса добавляются величины, кратные 4-импульсу [формулы (6.3.3), (9.9.51)]. Угловая зависимость коэффициента в выражении (9.9.82) в этом смысле является зависимостью от угловых интегралов величины а. Это самое главное, в чем наше [259] выражение (9.9.82) отличается от предложенных ранее (см. также [77]).

Причиной данного расхождения является принятая в ранних работах иная точка зрения на «начало», относительно которого следует вычислять момент импульса. Раньше полагали, что «начало» дается самим срезом точно так же, как произвольный хороший срез гиперповерхности пространства М соответствует хорошо определенной точке в М, а именно вершине светового конуса, пересекающего по этому срезу. Однако в случае плохого среза такая интерпретация в М неудовлетворительна. Если любое из этих ранних определений применить к плохому срезу гиперповерхности в пределе (линеаризованного) слабого поля в то получатся неверные результаты, тогда как наш подход специально выбран таким образом, чтобы в пределе слабого поля получались правильные результаты. В нашем подходе пространством допустимых (действительных) начал является пространство Минковского которое интуитивно можно представлять себе как «наилучшую оценку» местоположения плоского пространства начал при взгляде просто из окрестности частного среза гиперповерхности

Вектор Киллинга ассоциированный с любым конкретным выбором тензора по формуле (9.9.6), фактически будет соответствовать вектору Киллинга в Сам срез 9 соответствует срезу комплексифицированной гиперповерхности комплексифицированного пространства имеющей тот же сдвиг а, что и . Срез будет срезом гиперповерхности только в том случае, если а — чисто электрическая величина [формула (9.8.93)], так что — неконтортная поверхность. В этом случае вектором определяется частный генератор группы для а значит [поскольку можно отождествить друг с другом при и частный генератор группы для Когда величина о не чисто электрическая, мы получаем комплексный БМС-генератор. Однако этот генератор группы можно

представить как векторное поле, тангенциальное поверхности , только тогда, когда — хороший срез с вектором соответствующим лорендевым вращениям в которые сохраняют срез . (В этом отношении наш подход существенно отличается от всех предлагавшихся ранее.)

Однако остается одна серьезная трудность, которая возникает, если рассматривать эволюцию момента импульса системы во времени. Когда присутствует гравитационное излучение, пространство М (9), хотя и остается стандартным пространством Минковского при движении среза 9, тем не менее претерпевает в некотором смысле «сдвиг». Поэтому не совсем ясно, можно ли моменты импульса, отвечающие всем отдельным срезам гиперповерхности считать «одним и тем же». Эта трудность связана с проблемой, обсуждавшейся в § 8 (см. рис. 9.25), где выяснилось, что процедура выделения (ограниченной) подгруппы Пуанкаре группы тоже претерпевает некий сдвиг в промежутке между импульсами гравитационного излучения. Но сейчас мы находимся в несколько лучшем положении, поскольку можем точно проследить возникновение «сдвига» по мере того, как срез 9 движется вдоль Правда, строго говоря, интересующая нас подгруппа Пуанкаре «смещается в комплексную область», если а не является чисто электрической величиной, это может произойти только тогда, когда пространство-время нестационарно [299, 220]).

Отметим, что этот «сдвиг» полностью обусловлен присутствием излучения и на него не оказывают влияния изменения в выборе среза в период «радиационного молчания» системы. Суть нашего подхода в том, что нам удалось скомпенсировать (полностью, когда поле излучения слабое) «плохой» выбор среза и таким образом в значительной мере «развязать» определение момента импульса от среза.

Проблемы, возникающие при попытках отождествления друг с другом различных пространств М (9), пока что не вполне понятны. Это вопрос адекватного отождествления друг с другом твисторных пространств т. е. распространения пространства со временем. Свобода, имеющаяся первоначально при такого рода отождествлениях, в некоторой степени дополнительна к той свободе, что имеется при отборе подгруппы Пуанкаре группы Если считать спиновые пространства в точной последовательности (9.9.62) фиксированными — а это, как мы знаем, вполне законное предположение (см. текст, относящийся к формулам (9.9.42), (9.9.43)] — то указанная свобода относится к тому, каким способом в эту последовательность вводится средний член. Это соответствует свободе выполнения комплексной трансляции в пространстве или действительной трансляции, когда считается, что задана еще и

структура комплексного сопряжения пространства Для точного распространения момента импульса потребовалось бы исключить эту свободу [312, 313].