Асимптотические разложения в теории Эйнштейна — Максвелла

Анализируя структуру гиперповерхности мы пытались избежать излишней специализации как при выборе спиновой системы отсчета и координат, так и при выборе конформного фактора. Мы старались придать рассуждениям максимальную общность и не навязывать тот или иной способ дальнейшей специализации при выполнении конкретных расчетов. Так, в большинстве работ по вопросам, связанным с уходящим гравитационным излучением, используются изотропные координаты (например, локусы продолжают внутрь от так, чтобы они стали изотропными гиперповерхностями в но это ни в коей мере не обязательно и в некоторых случаях могут оказаться более предпочтительными асимптотически изотропные (скажем, пространственноподобные) гиперповерхности При этом остаются в силе все рассуждения и выводы данного параграфа.

Что касается конформного множителя , то мы его специализировали лишь в той степени, которая была необходима, чтобы привести внутреннюю метрику гиперповерхности к требуемому виду, во всем остальном выбор ничем не ограничивался. При более детальных расчетах часто полезна дополнительная специализация; например [см. текст, связанный с формулой (9.8.29) ], иногда удобно выбрать такой конформный множитель, чтобы гиперповерхность была изотропной. При локальных расчетах на иногда можно даже полностью «уплощать гиперповерхность стереографически проецируя одну из ее образующих «обратно на бесконечность» [240]. Тогда всякое «сечение» гиперповерхности получает евклидову метрику и можно добиться, чтобы выполнялось слабое равенство

т. е. полотнища флагов спинора всюду на считаются параллельными. Однако раньше условия типа (9.8.94) особого интереса для нас не представили бы, поскольку они мешают прямо применять модифицированный формализм спиновых коэффициентов,

Кроме того, из-за изменения топологии, связанного с изъятием одной образующей гиперповерхности сильно усложняется анализ глобальных проблем.

В заключение данного параграфа мы приведем без вывода выражения для старших членов асимптотических разложений физической метрики, спиновых коэффициентов, спинора электромагнитного поля и спинора Вейля, которые получаются, когда построенная здесь асимптотическая структура гиперповерхности снова интерпретируется в пространстве Предположим для определенности, что в выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла; это позволяет четко осуществлять продолжение внутрь от Для маркировки образующих мы выбрали координату времени Бонди на и [в соответствии с замечаниями, следующими за предложением (9.8.31)] стандартные стереографические координаты вследствие чего метрика сфер сечения гиперповерхности принимает вид (9.8.8). Координату и продолжим внутрь (единственным образом вблизи потребовав, чтобы гиперповерхности были изотропны. Это — изотропные гиперповерхности, образованные лучами в ортогонально пересекающими срезы гиперповерхности Координаты продолжены внутрь наложением требования, чтобы они были постоянны вдоль этих лучей. Координата выбрана в качестве аффинного параметра на каждом луче, а масштаб параметра выбран так, что (при компонента физической метрики равна единице. Нулевое значение радиального параметра подобрано таким образом, чтобы -член в разложении был равен нулю.

Мы здесь вернемся к обозначениям предыдущих параграфов, в которых физическая метрика обозначалась символом а не и соответственно этому не будем пользоваться «тильдой» для маркировки физических спиновых коэффициентов, характеристик кривизны и т. д.

Кроме того, мы выберем определенную спиновую систему отсчета и тем самым исключим, наконец, инвариантность, необходимую для строгого применения модифицированного формализма спиновых коэффициентов. Однако мы по-прежнему будем пользоваться символом 5 и примем для операторов выражения (4.15.117) (причем спиновые веса интересующих нас величин считаются известными). Масштаб спинора выбран таким образом, что вдоль образующих (как в § 7)

а полотнища флага указывают вдоль -линий сфер на (т. е. на возрастает, и параллельно переносятся

вдоль лучей, образующих гиперповерхность . [Это согласуется со схемой расположения интересующих нас объектов, представленной на рис. 4.6 (т. 1, с. 371).] Используемая спиновая система отсчета тоже параллельно переносится вдоль лучей. В выборе спинора И для каждого луча остается степень свободы, отвечающая «изотропному повороту».

При таком выборе интересующих нас величин и объектов все будет согласоваться с работами Ньюмена и его коллег [224, 171, 219, 223], если не считать небольших различий в выборе координат и замены оператора названных авторов нашим оператором д. Приводимые ниже соотношения взяты из работы [86]. Напомним, что точкой обозначается производная

Не сложно также преобразовать эти формулы к координатам показанным на рис. 4.7 (т. 1, с. 372).

(см. скан)

где

[Три последних из этих соотношений соответствуют выражениям (9.8.89), (9.8.83), (9.8.82) с условием (9.8.75).]